Булевы функции
Функция f, зависящая от n переменных x1, x2, ...., xn, называется булевой, если функция f и любой из ее аргументов Xi, (i=1..n) принимают значения только из множества {0, 1}. Аргументы булевой функции также называются булевыми. Иначе говоря, булева функция – это функция, и аргументы и значение которой принадлежит множеству {0, 1}.
Основные булевы функции
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
Все функции f являются одноместными:
|
x |
y |
f1 |
f2 |
f3 |
f4 |
f5 |
f6 |
f7 |
f8 |
f9 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
Решение:
Обозначим первый переключатель Х1, второй переключатель Х2, третий переключатель Х3, Y- состояние светильника. Положение включено и выключено 1 и 0 соответственно.
2
.
Исходя из условия задачи составим
следующую таблицу истинности:
|
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Y |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
3. На основании таблицы истинности можно сделать вывод, что светильник работает только в том случае, если все три переключателя включены или один из трёх переключателей включен.
Записываем положение включенного светильника в виде следующих формул:
Y= X1 & ¬X2 & ¬X3 = 1
Y= X1 & X2 & X3 = 1
Y= ¬X1 & ¬X2 & X3 = 1
Y= ¬X1 & X2 & ¬X3 = 1
5. Исходя из этого составляем функцию:
F = (X1 & ¬ X2 & ¬X3) v( X1 & X2 & X3) v (¬X1 & ¬X2 & X3) v (¬X1 & X2 & ¬X3) = 1
Выносим за скобки Х1 и ¬X1, получаем:
F = X1 & (¬ X2 & ¬X3 v & X2 & X3) v ¬X1 ( ¬X2 & X3 v X2 & ¬X3) = 1
Согласно законам логики:
¬ X2 & ¬X3 v & X2 & X3 = X2<=> X3
¬X2 & X3 v X2 & ¬X3 = X2 ∆ X3
Тогда, F = X1 & (X2<=> X3) v ¬X1 & (X2 ∆ X3)
|
Х1 |
Х2 |
Х3 |
¬X1 |
X2<=> X3 |
X1&(X2<=> X3) |
X2∆X3 |
X1&(X2∆ X3) |
F= X1&(X2<=>X3)v ¬X1 & (X2 ∆ X3) |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
Заключение
Тема, затронутая в данном реферате, имеет практическое значение. Каждый мыслящий человек должен иметь представление о законах логики. Логика изучает внутреннюю структуру процесса мышления.Сфера применения математической логики очень широка. С каждым годом растет глубокое проникновение идей и ме тодов математической логики в информатику, вычислительную математику, лингвистику, философию. Мощным импульсом для развития и расширения области применения математической логики стало появление электронно-вычислительных машин. Оказалось, что в рамках математической логики уже есть готовый аппарат для проектирования вычислительной техники. Методы и понятия математической логики является основой, ядром интеллектуальных информационных систем. Средства математической логики стали эффективным рабочим инструментом для специалистов многих отраслей науки и техники. Логические операции помогают решать сложные логические задачи математики и информатики и техники. Примером может служить задача данной работы, в ходе которой выяснился принцип работы светильника. Это осуществилось при помощи логических операции и таблицы истинности.
Применение компьютера при работе над данной темой еще раз подтверждает возможность использования вычислительной техники в различных сферах науки, и жизни человека.
Список, использеумой литературы
Д. П. Горский, А. А. Ивин, А. Л. Никифоров. Краткий словарь по логике. М.: Просвещение, 1991. С. Д. Шапорев. Дискретная математика
Шафрин Ю.А. Информационные технологии: В 2 ч. Ч. 2: Офисная технология и информационные системы. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.
Аляев Ю.А. Тюрин С. Ф. Дискретная математика и математическая логика. 2006 г.