Математика(КР-3)-3семестр

a x b,

y1(x) y y2 (x),

z1(x, y) z z2 (x, y),

то объем тела V

находится по формуле

b

y

(x)

z

(x, y)

V dx

2

dy

2

dz.

a

y1(x)

z1(x, y)

заданной области, т.е.

1

x

1

.

3

3

y x2 , а сверху –

кривой y 1 2x2 . Следовательно,

x2 y 1 2x2 .

41

1 2x2

2 x2

1 2x2

1 3

1 3

2 x2

V

dx

dy

dz

dx

z

dy

1

x2

x2

1 3

1

1 3

1 2x2

1

3

2

1

3

2

1 2x2

dx

(1 x

)dy

(1 x

)( y)

x

2

dx

1

3

x2

1

3

1

3

3

5

(1 x2 )(1 3x2 )dx

4x

3x

1

3

56

3

x

.

3

5

1

3

135

1

3

42

z 1 x2 y2;

z 0;

y x;

y x 3

ограниченный дугой

окружности

x2 y 2 1, являющейся

линией пересечения

параболоида

с плоскостью z 0 , и

круга, а подынтегральная

функция зависит

от x2 y2 ,

целесообразно

перейти

к полярным

координатам.

координат x , y

к полярным координатам , ,

связанным с

прямоугольными

координатами соотношениями

x cos ,

y sin , осуществляется по формуле

f (x, y)dxdy f ( cos , sin ) d d .

D

D

Уравнение окружности x2 y 2 1 в этих координатах

примет вид 1, подынтегральная функция

равна 1 2 , а

пределы

интегрирования по

определяем

из

уравнений

tg

1, т.е.

;

. Таким

прямых:

tg

2

3 , т.е.

2

1

1

4

3

AB :

x 1

y 0

;

y 3(x 1).

2 1

3 0

Найдем производную y 3.

Уравнение отрезка BC

имеет вид x 2 . В этом случае

dx 0,

3 y 5. Таким образом,

(C)

(B)

(x2 y 3x)dx ( y2 x 2 y)dy

(x2 y 3x)dx ( y2 x 2 y)dy

( A)

( A)

(C)

2

(y

2

x 2 y)dy x

2

(x 1)3 3x

2

x 6(x 1)

9(x 1)

3 dx

(B)

1

5

2

2

(2 y2

2 y)dy 3 (10x3 19x2

14x

6)dx

y3

y

2

5

3

3

3

1

3sin t;

2cos t .

xt

yt

Тогда

(x2 y 3x)dx ( y2 x 2 y)dy

L

2

(9 cos2 t2 sin t 9 cos t)( 3sin t) (4 sin2 t3cos t 4 sin t)2 cos t) dt

0

45

2

54 cos2 t sin2 t 27 sin t cos t 24 cos2 t sin2 t 8sin cos t dt

0

2

15

sin2

35

2

15

35

2t

sin 2t dt

(1

cos 4t)

sin 2t dt

0

2

2

0

4

2

15

35

.

8

2

(x ) x 1,

1

1

1

( x )

II.

в частности

,

.

x2

х

2

x

III.

(logа х) =

1

logа е, в частности

(ln х)

=

1

.

x

x

IV.

(a x ) a x ln a,

в частности,

(ex ) ex.

V. (sin х) = cos х.

VI.

(cos х) = sin х.

VII. ( tg x ) =

1

.

cos2 x

VIII. (ctg x) =

1

.

sin 2 x

IX.

(arcsin х) =

1

.

1 x2

X.

(arccos x) =

1

.

1 x2

XI.

(arctg x) =

1

.

1 x2

XII.

(arcctg x)

=

1

.

1 x2

XV.

(th x) =

1

.

ch 2 x

XVI.

(cth x) =

1

.

sh2 x

I.

x dx

x 1

C

1 .

1

II.

dx

ln

x

C.

x

III.

dx

arctg x C.

1

x2

IV.

dx

arcsin x C.

1 x2

V. a xdx

a x

C

0 a 1 .

ln a

VI.

e xdx e x C.

VIII.

cos dx sin x C.

IX .

dx

tgx C.

cos2 x

X.

dx

ctg x C.

sin 2 x

XI.

dx

1

ln

x a

C

(a 0) .

2

2

x a

x

a

2a

dx

XII.

ln

x

x2 k

C.

x2 k

XIII.

dx

1

arctg

x

C.

x2 a2

a

a

XIV.

dx

arcsin

x

C.

a2 x2

a

СОДЕРЖАНИЕ

1.

Общие рекомендации студенту-заочнику к изучению

курса высшей математики . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

1

2.

Правила выполнения и оформления контрольных работ

3

3.

Программа курса “Высшая математика” для студентов-

заочников инженерно-технических специальностей. . . .

3

4.

Вопросы для самопроверки к контрольной работе №3. .

5

5.

Контрольная работа №3 . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

7

6.

Примеры решения задач к контрольной работе №3 . . . .

22

Приложение 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

45

Приложение 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

46

Библиографический список . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

47