Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика(КР-3)-3семестр

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

849.2 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

13.

z 0;

z 6 x y;

x2 y2 9.

14.

z 0;

z y2;

y 3x;

y x 8.

15.

z 0;

z 3x;

y2 2 x.

16.

z 0;

z 4;

x2 y2

y x;

x 0;

y 0.

17.

z 0;

z 4 x2;

y 2

z 0;

z x2

y2 2;

x 0;

y 0.

18.

3 x;

19.

z 0;

z x2

y2;

y x;

y 0;

x 3.

20.

z 0;

z 2x2;

y x 3;

y 5 x.

Задача № 11

Вычислить

криволинейный

интеграл

(2a y)dx xdy

вдоль

дуги

первой

арки

циклоиды

x a(t sin t),

y a(1 cos t),

0 t 2 .

Вычислить

криволинейный

интеграл

xdx ydy

вдоль дуги L астроиды x 2 cos3 t,

y 2sin3 t,

0 t .

Вычислить

криволинейный

интеграл

ydx

вдоль

дуги L

кривой y e x от

точки

A(0;1)

до точки

B( 1;e) .

	4.	Вычислить криволинейный интеграл			1	dx		x		dy
	4.	Вычислить криволинейный интеграл				dx				dy
				L	y			y	2
								y

вдоль границы треугольника ABC, обходя ее против хода
часовой стрелки, где A(0;1) , B(1;1) , C(1;2) .
	5.	Вычислить криволинейный интеграл		вдоль верхней
	y 2dx x 2dy половины L		эллипса x a cos t,			y b sin t ,
L
обходя ее против часовой стрелки.
	6.	Вычислить	криволинейный			интеграл
	(x2 2xy)dx ( y 2 2xy)dy		вдоль ломаной линии				L=ABC,
L
где A(2;4) , B(2;6) , C(8;6) .
	7.	Вычислить	криволинейный			интеграл

(x 2 y)dx (x y)dy вдоль верхней половины окружности

x 2 cos t,	y 2sin t,	обходя ее	против	хода часовой
стрелки.
8. Вычислить криволинейный			интеграл		y	dx xdy
8. Вычислить криволинейный			интеграл		x	dx xdy
				L

вдоль дуги L кривой y ln x от точки A(1;0) до точки B(e;1).

	9.	Вычислить	криволинейный	интеграл
	(x2 2xy)dx (2xy y 2 )dy		вдоль дуги L параболы y x2
L
от точки A(0;0) до точки B(2;4) .
	10.	Вычислить	криволинейный	интеграл
	(x2 y) dx ( y 2 x)dy от точки A(1;2) до точки			B(4;3)
L
			22

вдоль ломаной линии, состоящей из отрезков прямых y 2 ,

y x 1.
11.	Вычислить			криволинейный				интеграл
(2xy y)dx (x2 x)dy				вдоль		верхней		половины
L
окружности x 3cos t,			y 3sin t ,			обходя ее	против хода
часовой стрелки.
12.	Вычислить			криволинейный				интеграл
(x y)dx (x y) dy			вдоль			дуги	L	эллипса
L
x cos t,	y 3sin t ,		t
x cos t,	y 3sin t ,	0	t		.
				2

	13.		Вычислить	криволинейный			интеграл
	(x2 2 y) dx (2x y 2 )dy			вдоль	дуги	L	параболы
L
y 2		x2	точки A( 4;0) до точки B(0;2) .
y 2			точки A( 4;0) до точки B(0;2) .
	8
	14.		Вычислить	криволинейный			интеграл
	(x2 y 2 )dx xydy , если L-отрезок прямой от точки A(1;1)
L
до точки B(3;4) .
	15.		Вычислить	криволинейный			интеграл
	ydx ( y x2 )dy , если			L-дуга	параболы		y 2x x2 ,

расположенная над осью OX и пробегаемая по ходу часовой стрелки

16.

Вычислить

криволинейный

интеграл

(x y)2 dx ( y x)2 dy ,

если L -ломаная линия

OAB, где

O(0;0) , A(2;0) , B(4; 2) .

17.

Вычислить

криволинейный

интеграл

(x2

y 2 )dx ( y 2

x2 )dy

от точки

A(2;0) до точки B(0;0)

вдоль

ломаной

линии,

состоящей

из

отрезков

прямых

y x

(0 x 1),

y 2 x,

1 x 2.

18. Вычислить криволинейный интеграл

, если

L-первая четверть окружности

x 4 cos t,

y 4sin t ,

пробегаемая против хода часовой стрелки.

19.

Вычислить

криволинейный

интеграл

xydx ( y 2

x)dy ,

если

L-ломаная

линия

ABCD,

соединяющая точка

A(1;0) , B(2;0) , C(2;2) ,

D(4;4) .

20.

Вычислить

криволинейный

интеграл

(xy x)dx

вдоль дуги L кривой

y 2 x

от точки

A(0;0) до точки B(1;2) .

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ №3

Пример 1. Решить уравнение xy y x sin xy .

Решение. Разделим обе

части

уравнения

на

x 0 .

Получим

x sin x .

Полученное уравнение имеет вид

f (t) ,

где

t x

иf (t) t sin t . Правая часть уравнения является функцией

одной переменной, следовательно, решаемое уравнение - однородное. Сделаем замену y xt , тогда y (x) t(x) xt (x) и уравнение принимает вид t xt t sin t , где t t(x) -новая

неизвестная функция. Осталось решить

уравнение xt' sin t

или

sin t

Правая часть этого уравнения представляет собой

произведение двух

функций f (x)

(t) sin t.

зависит

только от

x , f2 -только от

t ,

это

уравнение

разделяющимися переменными. Для его решения разделим

переменные. Умножая уравнение на dx и деля на

sin t 0 ,

получим

. Интегрируя последнее равенство,

найдем

sin t

(произвольную

постоянную

можно

c , а ln

обозначить не

). Тогда ln

, т.е.

arctg ( cx) ;

t 2arctg(cx) .

Возвращаясь

исходной

неизвестной функции,

имеем

y 2xarctg (cx) .

Пример 2. Решить уравнение						y cos2 x y tgx.
Решение.				Разделим уравнение		на	cos 2 x 0	Получим
уравнение			вида		y p(x) y q(x) ,		где p(x)		1	,

									cos2 x

q(x)	tgx		,	т.е.	линейное уравнение первого			порядка.

	cos	2 x

Будем его решать методом Бернулли, т.е. искать решение y(x)

виде

y(x) u(x)v(x) ,

где

u(x) ,

v(x)

подлежат

определению.

Поскольку

то

уравнение

u v uv

принимает

вид

sin x

u v uv

или

u v u v

cos2 x

cos3 x

cos2 x

cos3 x

Вкачестве v(x) возьмем любую функцию, обращающую

вноль сомножитель при u , т. е. частное решение уравнения

Это

уравнение с

разделяющимися

cos 2 x

переменными, поэтому,

умножая его на

и деля на v 0 ,

получим

;

cos

т. е.

tgx .

Следовательно,

v e tgx

(произвольная

постоянная не добавляется, так как берется частное решение). Поставим найденное v в исходное уравнение, тогда

второе слагаемое в правой части обратится в ноль, и для u(x) получим уравнение

tgx

sin x

tgxetgx

u e

cos3 x

;

cos 2 x

Отсюда, используя формулу интегрирования по частям,

найдем

tgxetgx

tgx z

zez dz e z (z 1) c etgx (tgx 1) c.

cos 2 x

cos

2 x

Возвращаясь к исходной неизвестной функции

y(x) , находим

решение:

y etgx (tgx 1) c e tgx tgx 1 ce tgx.

Пример 3.

Решить уравнение

2xy

arctgx.

1 x2

Решение.

Уравнение имеет вид y p(x) y q(x) yn , где

p(x)

;

q(x)

4a r c t g x

т.е.

это уравнение

;

1 x2

Бернулли.

Решение

уравнения

будем

искать

в виде

y(x) u(x)v(x) .

Поскольку

то

уравнение

u v

uv ,

примет вид

1/ 2

2x(1 x

)

4arctgx

v(1 x

)

u v uv

2xv

1/ 2

u v

4arctgx u

v (1 x

)

1 x

Возьмем в качестве v(x)

любую функцию, обращающую

в ноль второе слагаемое левой части,

т.е. частное решение

2xv

уравнения

1 x2 . Это

уравнение

с разделяющимися

переменными.

Его решение имеет вид v 1 x2. Подставляя

найденное v(x)

в исходное уравнение, получим

u'(x2 1) 4arctgx

4arctgx

1 x2

Опять получили уравнение с разделяющимися

переменными, решение которого

2arctg 2 x 2c,

u (arctg 2 x c)2.

Возвращаясь к исходной неизвестной функции y(x) , находим решение

y (x2 1)(arctg 2 x c)2.

Некоторые типы уравнений второго порядка приводятся к уравнениям первого порядка. К ним относятся:

Уравнения

вида

которые

не

f (x, y ) ,

содержат

явным

образом y .

Обозначим производную

через p(x)

т.е.

p(x).

Тогда

d 2 y

Подставляя эти выражения производных в исходное

уравнение, получим уравнение первого порядка.

Уравнения

вида

которые

не

f ( y, y ) ,

содержат явным образом x .

Положим y p( y)

и,

так

как

y y(x)

то

для

определения

производной

применим

правило

дифференцирования сложной функции

2 y

Подставляя выражения производных в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции p( y)

p dpdy f ( y, p) .

Пример 4. Решить уравнение x3 y x2 y 1 .

Решение. Вводим новую функцию p y , p p(x) , тогда y p . Подставив ее в уравнение, имеем

x3 p x2 p 1.

Это линейное уравнение первого порядка относительно p и его решение разыскиваем в виде произведения p uv

uv 1.

(u v

uv )

Учитывая требования

u(x3v x2v) 0 ,

v(x) 0 ,

находим функцию

v(x) :

. Подставляем

ее в уравнение для определения

u(x)

x3u

Отсюда

c .

Таким образом,

, и можно найти функцию y

y c1

y c1 ln

c2.

Пример 5. Найти общий интеграл уравнения y a2 y .

Решение.	Уравнение не содержит явным образом x .
Следовательно,	допускается понижение порядка. Обозначим

y p( y)

d 2 y

Тогда

a2 y .

Получили уравнение с разделяющимися переменными

dp ydy ,

интегрируя которое,

находим

p 2

y 2 c

a 2

или

y 2

c ;

y 2 c ;

adx.

a dx

y 2 c

Откуда

y 2 c

ax c

Решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и непрерывной правой частью вида

	a0 y a1 y a2 y f (x)							(1)
ищется в	виде суммы		y y0 y ,		где	~	решение
						y -частное
исходного	уравнения		(1),	а		y0 -общее	решение
соответствующего однородного уравнения
		a0 y a1y a2 y 0 .						(2)
Вид	общего	решения		y0	определяется		корнями
характеристического уравнения.				Вид частного решения				~
								y -
видом правой части		f (x)	уравнения (1).
			30

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.05.201514.2 Mб26Мантуров_Матвеев_ Курс высшей математики_1986.djvu
#
31.05.2015295.94 Кб34маркетинг учебник.docx
#
31.05.20152.48 Mб19Маслоу.doc
#
14.04.2019192.53 Кб10Массовые коммуникации и медиапланирование.docx
#
31.05.2015916.44 Кб21математика 341-2008.pdf
#
31.05.2015849.2 Кб19Математика(КР-3)-3семестр.pdf
#
31.05.20157.29 Mб25Математика.doc
#
31.05.201534.3 Кб13материалка.doc
#
31.05.20153.78 Mб14матмод.rtf
#
26.03.201622.34 Кб79Мед.техника.docx
#
31.05.201560.42 Кб9Международный кодекс рекламной деятельности.doc