Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

127-2008

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

890.97 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Так как при x 2,4 плотность распределения равна нулю, то

интеграл примет вид a dx 1 или ax 42 1, откуда a 12 . 2

Функция распределения связана с функцией плотности x

соотношением	F (x)		f (x)dx .

			0,	x 2
Отсюда получим F (x)				2 x 4
Отсюда получим F (x)		(x 2) / 2,		2 x 4
			1,	x 4
			1,	x 4
Математическое	ожидание M[ X ] и							дисперсию								D[ X ]
определим по формулам
				4
M [ X ]		xf (x)dx		1	xdx 3,
M [ X ]		xf (x)dx		2	xdx 3,
				2
				2
				4
D[ X ] (x M [ X ])2 f (x)dx						1	(x 3)2 dx							1	.
D[ X ] (x M [ X ])2 f (x)dx							(x 3)2 dx								.
				2							3
				2
Вероятность	выполнения				неравенства									0 x 3
определим по формуле
	3								1			1
P(0 x 3) f (x)dx F (3) F (0)									1	0		1	.
P(0 x 3) f (x)dx F (3) F (0)										0			.
	0							2			2
	0
Пример №19. Заданы математическое ожидание																a и
среднеквадратическое		отклонение									нормально
распределенной случайной величины. Требуется:
			41

1)написать плотность распределения вероятностей и схематично построить ее график;

2)найти вероятность того, что X примет значение из

интервала ( , ) , если		a 8,								3,						1,			6 .
Решение. 1) Так как случайная																величина X				имеет
нормальное распределение, то ее плотность имеет вид:
											(x a)2
f (x)			1					e					2		2	.
			1												2


					2
					2
Тогда
														(x 8)2
						1
																18 .
	f (x)										e


									2
			3						2
График функции	f (x)			называется кривой Гаусса и имеет
вид (Рис.1).
2) Вероятность попадания значений нормально
распределенной случайной					величины											X	в	интервал		( , )
определяется формулой
						a										a
P( X )																		,
P( X )																		,

где (x) функция Лапласа:
			1					x		t 2 / 2dt .
(x)			1					e

				2
				2		0
						0
							6 8									1 8
P(1 X 6)			Ф									Ф						.
P(1 X 6)			Ф									Ф						.
									3								3

Учитывая то, что функция Лапласа является нечетной и

используя таблицу значений функции Φ(x) , получим
	6 8	1 8		2		7
P(1 X 6) Ф		Ф	Ф		Ф

	3	3		3		3

7		2
Ф	Ф		0.4901 0.2486 0.2415 .
Ф	Ф		0.4901 0.2486 0.2415 .
3		3
0.15
0.15

0.1

( x 8 )2

1 e 18

3 2

0.05

5 0 5 10 15 20 x

Рис.1

Пример №20. Масса пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами: a 375г , 25 г. Найти вероятность того, что масса одной рыбы составит от 300г до

425г.

Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой

		a
	P( X )

		1			x	t 2 / 2dt .
где (x) функция Лапласа и (x)		1			e

		2
		2		0
				0
Полагая в ней a 375 г,	25 г,		300,				425 ,
получим
	425 375				300 375
P(300 X 425)
P(300 X 425)
	25					25

2 3 (2) (3) 0.477250 0.498650 0.9759.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Разложения в степенные ряды функций

e x 1

( x ),

2 !

n !

x2n

cos x 1

( 1)

( x ),

2 !

4 !

2n !

n 1 x2n 1

sin x x

( 1)

( x ),

1 !

x2n 1

sh x x

( x ),

2n 1 !

x2n

ch x 1

( x ),

2 !

4 !

6 !

2n !

n 1 xn

ln(1 x) x

( 1)

( 1 x 1),

1 x m 1

m(m 1)

m(m 1) (m n 1)

n !

1 x 1 ,

n 1 x

2n 1

arctg x x

( 1)

( 1 x 1) .

2n 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Таблица изображений основных элементарных функций

№	f (t) при t 0										F ( p)

1.					1								1
1.													p
													p

2.			t n									1
												p n 1
				n!


3.					t							1
		e
											p



		cos t											p
4.
4.									p 2 2
									p 2 2
		sin t
5.
5.									p 2 2
									p 2 2
	e t cos t										p
6.
6.						p 2								2
						p 2								2
	e t sin t
7.
7.						p 2								2
						p 2								2
8.		t n			t							1
		t n			t
		n! e						p n 1
		n! e						p n 1
									p 2 2
9.	t cos t
9.	t cos t									2				2 2
							p

												2 p
	t sin t
10.	t sin t									2				2 2
							p

					46

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

						1		x		2
	Таблица значений функции			Φ(x)		1		e t		2	/ 2	dt .
											/ 2

							2
							2	0

х	Ф(х)	х	Ф(х)	х		Ф(х)			х			Ф(х)

0.00	0.0000	0.10	0.0398	0.20	0.0793				0.30			0.1179
0.01	0.0040	0.11	0.0438	0.21	0.0832				0.31			0.1217
0.02	0.0080	0.12	0.0478	0.22	0.0871				0.32			0.1255
0.03	0.0120	0.13	0.0517	0.23	0.0910				0.33			0.1293
0.04	0.0160	0.14	0.0557	0.24	0.0948				0.34			0.1331
0.05	0.0199	0.15	0.0596	0.25	0.0987				0.35			0.1368
0.06	0.0239	0.16	0.0636	0.26	0.1026				0.36			0.1406
0.07	0.0279	0.17	0.0675	0.27	0.1064				0.37			0.1443
0.08	0.0319	0.18	0.0714	0.28	0.1103				0.38			0.1480
0.09	0.0359	0.19	0.0753	0.29	0.1141				0.39			0.1517

0.40	0.1554	0.50	0.1915	0.60	0.2257				0.70			0.2580
0.41	0.1591	0.51	0.1950	0.61	0.2291				0.71			0.2611
0.42	0.1628	0.52	0.1985	0.62	0.2324				0.72			0.2642
0.43	0.1664	0.53	0.2019	0.63	0.2357				0.73			0.2673
0.44	0.1700	0.54	0.2054	0.64	0.2389				0.74			0.2703
0.45	0.1736	0.55	0.2088	0.65	0.2422				0.75			0.2734
0.46	0.1772	0.56	0.2123	0.66	0.2454				0.76			0.2764
0.47	0.1808	0.57	0.2157	0.67	0.2486				0.77			0.2794
0.48	0.1844	0.58	0.2190	0.68	0.2517				0.78			0.2823
0.49	0.1879	0.59	0.2224	0.69	0.2549				0.79			0.2852

0.80	0.2881	0.90	0.3159	1.00	0.3413				1.10			0.3643
0.81	0.2910	0.91	0.3186	1.01	0.3438				1.11			0.3665
0.82	0.2939	0.92	0.3212	1.02	0.3461				1.12			0.3686
0.83	0.2967	0.93	0.3238	1.03	0.3485				1.13			0.3708
0.84	0.2995	0.94	0.3264	1.04	0.3508				1.14			0.3729
0.85	0.3023	0.95	0.3289	1.05	0.3531				1.15			0.3749

			47

Продолжние прил. 3

0.86	0.3051	0.96	0.3315		1.06	0.3554	1.16	0.3770
0.87	0.3078	0.97	0.3340		1.07	0.3577	1.17	0.3790
0.88	0.3106	0.98	0.3365		1.08	0.3599	1.18	0.3810
0.89	0.3133	0.99	0.3389		1.09	0.3621	1.19	0.3830

1.20	0.3849	1.30	0.4032		1.40	0.4192	1.50	0.4332
1.21	0.3869	1.31	0.4049		1.41	0.4207	1.51	0.4345
1.22	0.3888	1.32	0.4066		1.42	0.4222	1.52	0.4357
1.23	0.3907	1.33	0.4082		1.43	0.4236	1.53	0.4370
1.24	0.3925	1.34	0.4099		1.44	0.4251	1.54	0.4382
1.25	0.3944	1.35	0.4115		1.45	0.4265	1.55	0.4394
1.26	0.3962	1.36	0.4131		1.46	0.4279	1.56	0.4406
1.27	0.3980	1.37	0.4147		1.47	0.4292	1.57	0.4418
1.28	0.3997	1.38	0.4162		1.48	0.4306	1.58	0.4429
1.29	0.4015	1.39	0.4177		1.49	0.4319	1.59	0.4441

1.60	0.4452	1.70	0.4554		1.80	0.4641	1.90	0.4713
1.61	0.4463	1.71	0.4564		1.81	0.4649	1.91	0.4719
1.62	0.4474	1.72	0.4573		1.82	0.4656	1.92	0.4726
1.63	0.4484	1.73	0.4582		1.83	0.4664	1.93	0.4732
1.64	0.4495	1.74	0.4591		1.84	0.4671	1.94	0.4738
1.65	0.4505	1.75	0.4599		1.85	0.4678	1.95	0.4744
1.66	0.4515	1.76	0.4608		1.86	0.4686	1.96	0.4750
1.67	0.4525	1.77	0.4616		1.87	0.4693	1.97	0.4756
1.68	0.4535	1.78	0.4625		1.88	0.4699	1.98	0.4761
1.69	0.4545	1.79	0.4633		1.89	0.4706	1.99	0.4767

2.00	0.4772	2.20	0.4861		2.40	0.4918	2.60	0.4953
2.02	0.4783	2.22	0.4868		2.42	0.4922	2.62	0.4956
2.04	0.4793	2.24	0.4875		2.44	0.4927	2.64	0.4959
2.06	0.4803	2.26	0.4881		2.46	0.4931	2.66	0.4961
2.08	0.4812	2.28	0.4887		2.48	0.4934	2.68	0.4963
2.10	0.4821	2.30	0.4893		2.50	0.4938	2.70	0.4965
2.12	0.4830	2.32	0.4898		2.52	0.4941	2.72	0.4967

				48

Окончание прил. 3

2.14	0.4838	2.34	0.4904	2.54	0.4945	2.74	0.4969
2.16	0.4846	2.36	0.4909	2.56	0.4948	2.76	0.4971
2.18	0.4854	2.38	0.4913	2.58	0.4951	2.78	0.4973

2.80	0.4974	3.00	0.4986
2.82	0.4976	3.20	0.4993
2.84	0.4977	3.40	0.4996
2.86	0.4979	3.60	0.4998
2.88	0.4980	3.80	0.4999
2.90	0.4981	4.00	0.4999
2.92	0.4982	4.50	0.4999
2.94	0.4984	5.00	0.4999
2.96	0.4985
2.98	0.4986

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учебник для втузов / Н.С. Пискунов. - М.: Наука, 1985. Т. 2. 575 с.

2.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я Кожевникова. - М.:

Высш. шк., 1986. Ч. 2.

3.Вентцель Е.С. Теория вероятности и ее инженерные приложения / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. - М.: Наука, 1988.

4.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. - М.: Высш. шк., 1979. 400 с.

5.Штеренгас С.С. Задачи по теории вероятностей / С.С. Штеренгас, К.Д. Соков. – Воронеж: Изд-во ВГУ,1972.80 с.

	СОДЕРЖАНИЕ
1.	Общие рекомендации студенту-заочнику к изучению
	курса высшей математики . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . .	1
2.	Правила выполнения и оформления контрольных работ		3
3.	Программа курса “Высшая математика” для студентов-
	заочников инженерно-технических специальностей. . . .		3
4.	Вопросы для самопроверки к контрольной работе №4. .		5
5.	Контрольная работа №4. . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . .	6
6.	Примеры решения задач к контрольной работе №4 . . . .		23
	Приложение 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . .	43
	Приложение 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . .	44
	Приложение 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . .	45
	Библиографический список . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . .	47

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.05.2015329.22 Кб461. Постоянный ток.doc
#
31.05.201584.99 Кб71.doc
#
26.03.20162.1 Mб111.УМКД. Гидр.ТМ.ДО.doc
#
26.03.2016916.02 Кб36111-2015 РПДУ.pdf
#
31.05.2015970.01 Кб71111.docx
#
31.05.2015890.97 Кб9127-2008.pdf
#
26.03.2016922.78 Кб19139-2013_Электричество.pd.pdf
#
31.05.201542.97 Кб1414-20.docx
#
26.03.20162.1 Mб81149-2013 РПДУ.pdf
#
26.03.201674.23 Кб1917-33.docx
#
26.03.20163.53 Mб4173-2001_dlya_ngd.doc