127-2008

Вари

Задача 7

Задача 9

Задача 11

ант

p1

p2

p3

n

k

p

a

1

0.8

0.6

0.4

4

2

0.9

2

13

10

4

2

0.4

0.7

0.5

5

3

0.6

5

14

9

5

3

0.7

0.8

0.3

6

4

0.7

4

9

8

1

4

0.7

0.5

0.6

4

2

0.5

3

10

7

2

5

0.9

0.6

0.4

5

2

0.3

2

11

6

3

6

0.6

0.3

0.5

6

3

0.8

1

12

5

1

7

0.3

0.8

0.2

4

3

0.4

2

11

4

5

8

0.5

0.8

0.6

5

3

0.4

3

10

3

2

9

0.7

0.6

0.3

6

2

0.8

4

9

2

5

10

0.9

0.4

0.5

5

2

0.6

6

10

2

4

11

0.9

0.5

0.7

6

3

0.6

7

12

1

4

12

0.3

0.7

0.6

4

3

0.8

8

10

2

6

13

0.4

0.8

0.5

5

2

0.7

5

11

3

4

14

0.9

0.7

0.3

6

5

0.4

2

12

4

6

15

0.5

0.3

0.7

4

2

0.3

3

5

3

6

16

0.9

0.8

0.2

5

3

0.7

9

15

3

2

17

0.6

0.3

0.9

6

4

0.6

1

10

5

1

18

0.5

0.4

0.6

4

3

0.2

4

12

2

4

19

0.4

0.6

0.7

5

4

0.8

10

22

8

6

20

0.9

0.3

0.5

6

3

0.5

8

20

5

3

21

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ

РАБОТЕ №4

Пример №1. Исследовать сходимость числового ряда

2

n

.

(3n)!

n 1

un

n2

un 1

n 1 2

Решение. Имеем

,

. Применяя

(3n

(3n)!

3)!

признак Даламбера, вычислим

l lim

un 1

lim

n 1 2 3n !

n

un

n (3n 3)!n2

lim

n 1 2

0 1.

2

n (3n 3)(3n 2)(3n 1)n

1

.

n 2 n(ln n) 2

Решение.

Введем

функцию

f (x)

1

,

x(ln x)2

удовлетворяющую

условию

f (n) un ,

и

исследуем

сходимость по интегральному признаку. Для этого вычислим

dx

b

dx

b d (ln x)

1

b

lim

lim

lim

2

2

2

ln x

2

x(ln x)

b

2

x(ln x)

b

2

(ln x)

b

2

25

1

1

1

lim

.

ln 2

ln b

ln 2

b

1

x n .

2

n

n 1 n

3

Решение.

Составим ряд из модулей

членов ряда

1

x n

и вычислим

n

2

3

n

n 1

un 1

x

n 1n2 3n

x

l

lim

lim

.

n

un

b 3n 1 n 1 2

x

n

3

x ( 3,3) .

Исследуем сходимость ряда в граничных точках.

При x 3

и x 3 из данного ряда получаем соответственно

1

( 1) n

числовые

ряды

и

. Из интегрального

2

n 1 n

n 1

n

2

x

x2

x3

x

4

в нем

x на x ,

имеем

cos x 1

...

2!

4!

6!

8!

(x 0) . Интегрируя в указанных пределах, получим

1

x2

x3

x4

1

1

1

1

cos

...

xdx x

1

....

0

2!2

4!3

6!4

0

2!2

4!3

6!4

y

(n)

(x0 )

y(x)

(x x0 )n ,

(2)

n !

n

0

где y(x0 ) y0 , y (x0 ) f (x0 , y0 ),

а остальные производные

y (n) (x0 ) (n 2,3,...)

находятся

путем последовательного

y x2 y 2 ,

y(1) 1.

Решение. Из

данного

уравнения находим, что

y (1) 1 1 2 . Дифференцируем исходное уравнение:

y 2x 2yy ,

y (1) 6;

y 2 2y 2 2yy ,

y (1) 22;

y IV

4y y 2y y 2yy ,

y IV (1) 116

получаем

y(x) 1 2(x 1)

6(x 1)2

22

(x 1)3

116

(x 1)4

...

2

6

24

1 2(x 1) 3(x 1)

2

11

(x 1)3

29

(x 1)4 ... .

3

6

Пример №6.

Методом

последовательного

членов

разложения

в

степенной

ряд

решения

28

дифференциального

уравнения

y (1 x2 ) y 0

при

y 2xy (1 x2 ) y ,

y (0)

2;

y IV 2y 2xy 2xy (1 x2 ) y ,

y IV (0) 6 .

Подставляя найденные значения производных в ряд

Маклорена, получаем

y(x) 2 2x x

2

1

x

3

1

x

4

...

3

4

Пример №7.

Методом

последовательного

членов

разложения

в

степенной

ряд

решения

дифференциального уравнения

4x2 y y 0

при следующих

условиях:

y(1) 1, y (1)

1

.

2

y

f (1)

f (1)

(x 1)

f

(1)

(x 1)2

f (1)

(x 1)3

1!

2 !

3 !

f IV (1)

(x 1)4 ...,

4 !

f (1) 1,

f

(1)

1

;

2

29

f (x)

y

,

f (1)

1

;

2

4x

4

y x2

1

1

2 1

2xy

3

f (x)

,

f (1)

2

;

4x

4

4

8

f IV (x) (( y x2 2xy 2y 2xy )x4 4x3( y x2

2xy)) /(4x8 );

f IV (1)

15

.

16

Подставляя найденные значения производных в ряд,

получаем искомое решение дифференциального уравнения:

y(x) 1

1

(x 1)

(x 1)2

3

(x 1)3

15

(x 1)4 ...,

4 2 !

2

8

3 !

16 4 !

x 1

(x 1)

2

(x 1)3

5(x 1)

4

y 1

... .

2

8

16

128

Пример №8. Найти изображение по Лапласу функции

f (x) e 3t cos 4t sin 2t.

Решение. Предварительно преобразуем исходную

функцию,

воспользовавшись

формулой

sin ax cos bx

1

(sin(a b)x sin(a b)x) .

В

результате

2

получим

f (x)

1

e

3t