127-2008
.pdf
e x
1.0.01 x dx ,0.1
1 |
|
x 2 |
|
|
3. |
cos |
dx , |
||
|
||||
0 |
2 |
|
||
|
|
|
||
1
5. arctgxx dx ,
0.5
|
0.25 |
|
|
|
|
|
|
|
ln(1 |
|
|
|
|||
7. |
|
x )dx , |
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
1 |
|
|
|
|
9. |
|
|
|
dx , |
|||
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
|
||||
|
|
x |
1 |
||||
|
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0.1 e x 1
11. dx , x
0
0.5
13. ln(1 x)dx , x
0
1
15. sinx xdx ,
0
|
0.5 |
|
|
1 cos x |
|
|||||
2. |
|
|
dx , |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
x2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
sin x2 |
|
|
|
|
|||
4. |
|
dx , |
||||||||
|
|
|||||||||
|
0.5 |
|
|
|
x3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x3 dx , |
||||||||
6. |
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
x ctgx |
|
|
|||||
8. |
|
|
dx , |
|||||||
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
x2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0.25
10. arctg 
x dx ,
0
1
12. 
x sin x dx , 0
1
14. cos 3
x dx ,
0
0.5
16. ln(1 x2 )dx ,
0
11
|
1 |
|
|
|
|
0.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e x2 / 4dx , |
|
|
|
|
|
xdx , |
||||||
17. |
18. |
|
x e |
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
0.5 |
|
|
1 |
|
|
||
|
3 1 x2 dx , |
|
|
|
|
|
|||||||
19. |
|
20. |
|
|
|
|
dx . |
||||||
|
|
5 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача №4
Методом последовательного дифференцирования найти пять первых, отличных от нуля, членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях.
1. |
y arcsin y x, |
y(0) |
1 |
, |
2. |
y |
1 x |
2 |
1, |
y(0) 1, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
y |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. y xy ln( y x), |
y(1) 0 , |
4. |
y 0.2x y2, |
y(0) 1, |
||||||||||||
5. |
y x y2 , |
y(0) 1 , |
|
|
6. |
y x2 |
xy e x , y(0) 0 , |
|||||||||
7. |
y x |
1 |
, |
y(0) 1, |
|
|
8. |
y |
y |
|
1 |
, y(1) 1, y (1) 0 , |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
x |
|
||||
9. |
y 2x 0.1y2 , y(0) 1 , |
|
10. y cos x x2, |
y(0) 0 , |
||||||||||||
11. |
y x2 xy, |
y(0) 0.1, |
12. |
y 2x2 y3, |
y(1) 1, |
||
13. |
y 2x cos y, |
y(0) 0 , |
14. |
y xyy , |
y(0) y (0) 1, |
||
15. |
y 3x y2, |
|
y(0) 2 , |
16. |
y x2 0.2 y2 , |
y(0) 0.1, |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
17. |
y x2 2y, |
y(0) 1 , |
18. y 2yy , y(0) 0, y (0) 1, |
19. |
y xy y2, |
y(0) 0.1, |
20. y 4y 2xy 2 e3x , y(0) 2 . |
Задача №5
Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям.
1. |
x 2x x sin t; |
||
x(0) 0, |
x (0) |
1. |
|
3. |
x 2x 2x cos t; |
||
x(0) 0, |
x (0) |
1. |
|
5. |
x 2x 5x t et ; |
||
x(0) 0, |
x (0) |
0. |
|
7. |
x 4x t e 2t ; |
|
|
x(0) 0, |
x (0) |
0. |
|
9. |
x x t et ; |
|
|
x(0) 0, |
x (0) |
0. |
|
x x y, x(0) 1,
y x y, y(0) 0.
|
x y 0, |
x(0) 1, |
13. |
|
|
|
y x 0, |
y(0) 1. |
2. |
x 3x 2x 1 t; |
|
x(0) 0, |
x (0) 1. |
|
4. |
x x cos 2t; |
|
x(0) 1, |
x (0) 0. |
|
6. |
x 2x 5x 1 t ; |
|
x(0) 0, |
x (0) 0. |
|
8. |
x 2x sin t; |
|
x(0) 0, |
x (0) 0. |
|
|
x 2x x t ; |
|
10. x(0) 1, |
x (0) 0. |
|
x 4x y 0, x(0) 2,
y 2x y 0, y(0) 3.
x 2x y, x(0) 0,
y 3x 4 y, y(0) 1.
13
|
x 7x y 0, |
x(0) 1, |
|
x x y, |
x(0) 1, |
||||
15. |
|
|
|
|
16. |
|
|
|
|
|
y 2x 5y 0, |
y(0) 1. |
|
y 3y 2x, |
y(0) 1. |
||||
|
|
x y 0, |
x(0) |
1, |
|
x y 0, |
|
|
x(0) 1, |
17. |
|
|
|
|
18. |
|
|
|
|
|
x 2 y x 0, y(0) |
1. |
|
y 2x 2 y 0, y(0) 1. |
|||||
|
|
x x 2 y 3, |
x(0) 1, |
|
x x 8y 0, |
x(0) 1, |
|||
19. |
|
|
|
|
20. |
|
|
|
|
|
3x y 4x 2 y 0, y(0) 0. |
|
y x y 0, |
|
y(0) 0. |
||||
Задача № 6
1.Бросается две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит 3; б) произведение числа очков не превосходит 3; в) произведение числа очков делится на 3.
2.Имеются изделия 4-х сортов, причем число изделий 1-
го сорта n1 1; 2-го сорта n2 2 ; 3-го сорта n3 3 ; 4-го сорта n4 4 . Наудачу для контроля берется 7 изделий. Определить вероятность того, что среди них m1 1 изделие первосортное; m2 1, m3 2 , m4 3 второго, третьего и четвертого сортов соответственно.
3.Среди 10 лотерейных билетов 6 выигрышных. Наудачу взяли 4 билета. Определить вероятность того, что среди них 2 выигрышных.
4.В лифт 6-этажного дома сели 4 пассажира. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что: а) все вышли на разных этажах; б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже.
14
5. В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до
концов отрезка превосходит величину 14 .
6.Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке времени с 9 час. 00 мин. до 10 час. 00 мин. Одно из событий длится 10 мин., другое – 10 мин. Определить вероятность того, что: а) события «перекрываются» по времени; б) не «перекрываются».
7.В партии содержится 20 деталей, среди которых 4 нестандартных. Для контроля взяли наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что одна из взятых деталей нестандартна.
8.По линии связи в случайном порядке передаются все 30 знаков алфавита. Определить вероятность того, что на ленте появится последовательность букв, образующих слово «радио».
9.Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает ответы только на два вопроса из трех его экзаменационного билета.
10.В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу берет 5 деталей. Найти вероятность того, что среди них 3 окажутся окрашенными.
11.По цели проведено 20 выстрелов, причем зарегистрировано 18 попаданий. Найти относительную частоту попаданий в цель.
12.При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0.9. Найти число годных приборов, если всего было проверено 200 приборов.
13.В партии из 18 изделий 6 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из 5, взятых наугад изделий, 3 изделия будут дефектными?
15
14.В магазине выставлены для продажи 26 изделий, среди которых 6 изделия некачественные. Какова вероятность того, что взятые случайным образом 2 изделия будут некачественными?
15.В группе из 9 самолетов находятся 4 бомбардировщика, места которых в группе не известны. Системой ПВО сбивается 3 самолета. Какова вероятность того, что из сбитых самолетов 2 – бомбардировщика?
16.Производится прием кодовых комбинаций, содержащих пять цифр от 1 до 5. Какова вероятность p того,
что в принятой комбинации цифры образуют последовательность 1, 2, 3, 4, 5?
17.На вход радиоприемного устройства поступают кодовые комбинации, состоящие из двух знаков: 1 (посылка)
и0 (пауза). Какова вероятность того, что в первой кодовой комбинации будет хотя бы один нуль, если появление нуля и единицы равновозможно?
18.В урне 5 белых и 10 черных шаров. Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут еще один шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже будет белым.
19.В урне 6 белых и 8 черных шаров. Из урны вынули один шар и, не глядя, отложили в сторону. После этого из урны взяли ещё один шар. Он оказался белым. Найти вероятность того, что первый шар, отложенный в сторону, тоже белый.
20.Десять человек случайным образом садятся за круглый стол. Найти вероятность того, что два определённых лица окажутся рядом.
16
Задача № 7
Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в течение некоторого времени t . За это время первый узел оказывается неисправным с вероятностью p1, второй – с
вероятностью p2 , третий – с вероятностью p3 . Найти
вероятность того, что за время работы: а) все узлы оставались исправными, б) все узлы вышли из строя, в) только один узел стал неисправным, г) хотя бы один узел стал неисправным (см. исходные данные в таблице).
Задача №8
1.Первое орудие четырехорудийной батареи пристреляно так, что вероятность попадания равна 0.3, остальным трем орудиям соответствует вероятность попадания 0.2. Для поражения цели достаточно одного попадания. Два орудия произвели одновременно по выстрелу. Какова вероятность, что цель будет поражена?
2.Имеются две урны: в первой 3 белых и 4 черных шара, во второй 2 белых и 3 черных. Из первой урны во вторую перекладывают два шара, шары перемешивают, а затем из второй урны в первую перекладывают один шар. После этого из первой урны берут один шар. Найти вероятность, что он белый.
3.По объекту производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при каждом выстреле соответственно 0.4; 0.5; 0.7. Для вывода объекта из строя достаточно трех попаданий, при двух попаданиях он выходит из строя с вероятностью 0.6, при одном – с вероятностью 0.2. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов объект будет выведен из строя.
4.У рыбака имеются три места лова, которые он посещает
сравной вероятностью. На первом месте рыба клюет с
17
вероятностью 0.6; на втором – 0.7; на третьем 0.5 .Известно, что рыбак три раза закидывал удочку и рыба клюнула один раз. Найти вероятность того, что он ловил на первом месте.
5.В ящике лежат 20 теннисных мячей, 15 новых и 5 старых. Для игры наудачу выбираю 2 мяча и после игры возвращают обратно. Затем для второй игры также наудачу берут еще два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?
6.Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания у первого охотника равна 0.2; у второго – 0.6 . В результате залпа оказалось одно попадание. Какова вероятность, что попал первый стрелок?
7.Три стрелка, вероятности попадания которых в мишень при одном выстреле соответственно равны 0.8; 0.7 и 0.6, делают по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вычислить вероятность того, что в мишени окажется ровно две пробоины.
8.В группе из 20 стрелков имеются 5 отличных, 9 хороших и 6 посредственных стрелков. При одном выстреле отличный стрелок попадает в мишень с вероятностью 0.9, хороший – с вероятностью 0.8 и посредственный – с вероятностью 0.7. Наугад выбранный стрелок выстрелил дважды; отмечено одно попадание и один промах. Какова вероятность, что это был отличный стрелок?
9.В первой урне 5 белых и 3 черных шара, во второй – 4 белых и 7 черных шаров. Из первой во вторую перекладывают три шара, а затем из второй извлекают один шар. Определить вероятность, что он белый.
10.Рабочий обслуживает три разных станка, производя при этом одинаковые детали. Известно, что производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего – в два раза меньше, чем второго. Вероятность брака для первого станка равна 0.03 ; для второго
18
– 0.01 ; для третьего 0.02. Определить вероятность того, что наудачу взятая деталь – бракованная.
11.Экспедиция пройдет перевал в горах при хорошей погоде с вероятностью 0.9; при ветреной погоде – с вероятностью 0.7; и с вероятностью 0.3 при буране. После выхода на маршрут радист получил сведения, что с вероятностью 0.2 погода будет хорошей, с вероятностью 0.5 погода будет ветреной, и с вероятностью 0.3 случится буран. Какова вероятность того, что перевал будет пройден?
12.Прибор состоит из двух последовательно включенных узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение
времени t) первого узла равна 0.9, второго 0.8 . При испытании в течение времени t прибор отказал. Найти вероятность того, что отказали оба узла.
13.В альбоме 5 чистых и 7 гашеных марок. Из них наудачу извлекают 3 марки, подвергают спецгашению и возвращают обратно. После этого вновь извлекают одну марку. Определить вероятность того, что марка чистая?
14.В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую. После этого из второй урны извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.
15.По самолету производится три последовательных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна
0.3; при втором – 0.5; при третьем 0.7. Для вывода самолета из строя с вероятностью 0.3 достаточно одного попадания, с вероятностью 0.5 достаточно двух попаданий. Попадание трех снарядов заведомо достаточно для вывода самолета из строя. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет сбит.
19
16.Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для каждого из стрелков соответственно равны 0.6, 0.7, 0.8. Какова вероятность того, что второй стрелок промахнулся, если после выстрелов в мишени оказалось две пробоины?
17.Человек, заблудившись в лесу, вышел на поляну, откуда вело три дороги. Вероятность выхода из леса в течение часа по этим дорогам равна соответственно 0.3; 0.1; 0.4. Чему равна вероятность, что заблудившийся выбрал первую дорогу, если известно, что он вышел из леса в течение часа?
18.На склад поступает продукция трех фабрик. Причем продукция первой фабрики составляет 20%, второй – 46% , третьей – 34%. Известно, что процент брака на первой, второй
итретьей фабриках 0.02; 0.04; 0.08 соответственно. Найти вероятность того, что выбранное изделие произведено на первой фабрике, если при испытании оно оказалось бракованным.
19.По линии связи могут быть переданы символы А, В, С. Вероятность передачи символа А равна 0.5; символа В – 0.3; символа С – 0.2. Вероятности искажения при передаче символов А, В, С равны соответственно 0.01; 0.03; 0.07. Установлено, что сигнал из двух символов принят без искажения. Чему равна вероятность того, что передавался сигнал АВ?
20.В урне лежит шар неизвестного цвета – с равной вероятностью белый или черный. В урну опускают один белый шар и после перемешивания наудачу извлекают один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар?
20