Решение одномерной задачи стационарной теплопроводности

Рассмотрим пример использования МКЭ для расчета одномерного температурного поля в однородном стержне. Пусть имеется стержень длиной L и площадью поперечного сечения S (рис. 7.).

Рис. 7. Одномерный стержень, находящийся под воздействием теплового потока

дин конец стержня жестко закреплен, и к нему подводится тепловой поток

заданной интенсивности. На свободном конце стержня происходит конвективный теплообмен с внешней средой. Известны коэффициент теплообмена

и температура окружающей среды

. Вдоль боковой поверхности стержень теплоизолирован. Температурное поле в стержне описывается уравнением теплопроводности, которое в одномерном приближении имеет вид (21).

(21)

Краевые условия определяются уравнениями: (22) при x=0; (23) при x=L.

(22)

(23)

Искомое температурное поле является непрерывной функцией координаты х. В МКЭ стержень разбивается произвольным образом на конечные элементы, которые в данном случае являются отрезками неравной длины. На каждом элементе непрерывная функция Т(х) аппроксимируется некоторой линейной зависимостью. Аппроксимирующая кусочно-линейная функция определяется через узловые значения Т1 – Т6, которые в общем случае сначала неизвестны и подлежат определению в МКЭ.

При указанном методе минимизируется функционал (24), где V – объем тела; S – площадь границы.

(24)

В функционал F входят оба граничных условия (22), (23). При минимизации функционала используется множество функций элементов дискретизированной области. Для простоты вычислений будем считать, что стержень разбит всего на два элемента (в практических случаях этого недостаточно). Тогда

(25)

Функционал (24) удобно представить в виде (26), где S1 и S2 — площади сечений стержня, на которых заданы граничные условия (22) и (23) соответственно. Для вычисления объемного интеграла в (14) его необходимо разбить на два слагаемых в соответствии с принятой конечно-элементной моделью (27).

(26)

(27)

Функциями формы одномерного симплекс-элемента являются:

(28)

Производные в (27) вычисляются с учетом (25) и (28):

(29)

Подставив (29) в (27) и считая, что dV(e)= S(e)dx, получим:

(30)

Второе и третье слагаемые в (26) вычисляются просто, так как подынтегральным функциям соответствуют узловые значения Т1 и Т3 (31) и (32), где S1 и S2 — площади поверхностей, на которых заданы q и a (для рассматриваемого примера S1 = S(1) и S2 = S(2)).

(31)