5. Решение систем линейных уравнений

Система m-уравнений сnнеизвестными вида называется системой линейных уравнений, причемx_j– неизвестные,- коэффициенты при неизвестных,- свободные коэффициенты (i=1,…,m, j=1,...n):

………………………………….

Кроме этого, система из m линейных уравнений сnнеизвестными может быть описана при помощи матриц:A*x=b, гдеx={x_j} – вектор неизвестных,A={a_ij} – матрица коэффициентов при неизвестных при неизвестных или матрица системы,b= {b_j} – вектор свободных членов системы или векторов правых частей (i=1..m, j=1,..n).

Матрица (A|b), которая формируется путем приписывания к исходной матрице коэффициентовА столбца свободных членовb, называется расширенной матрицей системы.

Если все b_i =0, то речь идет об однородной системе линейных уравнений, иначе говорят о неоднородной системе.

Совокупность всех решений системы (x₁,x_2,…,x_n) называется множеством решений, или просто решением системы. Две системы уравнений называются эквивалентными, если они имеют одинаковое множество решений.

Однородные системы линейных уравнений Ax=0 всегда разрешимы, так как последовательность (x₁=0,x₂=0,…,x_n=0) удовлетворяет всем уравнениям системы. Решение в этом случае называетсятривиальным.Проблема решения однородных систем сводится к вопросу о том существуют ли помимо тривиального другие, нетривиальные решения.

Система линейных уравнений может не иметь ни одного решения, и тогда она называется несовместной. Например в системе:

левые части уравнения совпадают, а правые различные, поэтому никакие значения x₁иx₂не могут удовлетворить обоим уравнения сразу.

Если же система линейных уравнений обладает решением, то она называется совместной. Совместная система называется определенной, если у нее есть единственное решение, и неопределенной, если решение больше чем одно. Так система:

определена и имеет единственное решение =5,, а система уравнений:

Неопределенна, так как имеет бесконечное множество решений вида =kи, где числоkпроизвольное.

Совокупность всех решений неопределенной системы уравнений называется общим решением, а какое-то одно конкретное решение –частным. Частное решение, полученное из общего при нулевых значениях свободных переменны, называется базисным.

При определении совместности систем уравнений важную роль играет понятие ранга матрицы. Пусть дана матрица Аразмеромn*m Вычеркиванием из нее некоторых строк и столбцов можно получить квадратные матрицыk – го порядка, определители которых называются минорами порядкаk матрицыА. Наивысший порядок не равных нулю миноров матрицыA называют рангом матрицы и обозначаютr(А). Из определения вытекает, чтоr (A)<min(n,m), r(A) = 0, только если матрица нулевая иr (А) =п для невырожденной матрицыn-го порядка. При элементарных преобразованиях (перестановка строк матри­цы, умножение строк на число, отличное от нуля, и сложение строк) ранг матри­цы не изменяется. Итак, если речь идет об исследовании системы на совмест­ность, следует помнить, что системап линейных уравнений ст неизвестными:

• несовместна, если r (А | b) > r (А);

• совместна, если r (А |b) = г (А), причем приr(А | b) =r (А) = m имеет един­ственное решение, а приr(A|b) = r(A) < m имеет бесконечно много ре­шений.

Существует немало методов для практического нахождения решений систем линейных уравнений. Они разделяются на точные и приближенные. Метод от­носится к классу точных, если с его помощью можно найти решение в резуль­тате конечного числа арифметических и логических операций. В этом разделе на конкретных примерах будут рассмотрены только точные методы решения систем.

Задача 7.

Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Правило Крамера заключается в следующем. Если определитель=detAмат­рицы системы изп уравнений сп неизвестнымиАх =b отличен от нуля (если определитель матрицы системы равен нулю, это не означает, что система не имеет решения; возможно ее нельзя решить по формулам Крамера ), то система имеет единственное решениеx_1,…. x₂, ...,х_n, определяемое по формулам Крамера, где- определитель матрицы, полученный из матрицы системыА заменойi-го столбца столбцом свободных членовb.Итак, для решения поставленной задачи необходимо выполнить следующие действия:

■ представить систему в матричном виде, то есть сформировать матрицу системы Аи вектор правых частейb,

■ вычислить главный определитель ;

■ сформировать вспомогательные матрицы для вычисления определите­лей _i;

■ вычислить определители ;

■ найти решение системы по формуле

Фрагмент рабочего документа, приведенный в листинге 75, содержит ре­шение поставленной задачи.

Листинг 75.

>> А=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6]

>> %Матрица коэффициентов

А =

2 1 -5 1

1 -3 0 -6

0 2 -1 2

0 4 -7 6

>> %Вектор свободных коэффициентов

>> b=[8;9;-5;0]

b =

8 9 -5 0

>> %Первая вспомогательная матрица

>> А1=А;А1(:,1)=b

А1 =

8 1 -5 1

9-3 0 -6

-5 2 -1 2

0 4 -7 6

>> %Вторая вспомогательная матрица

>> А2=А;А2(:,2)=b

А2 =

2 8 -5 1

1 9 0 -6

0-5-12 1 0-7 6

>> %Третья вспомогательная матрица

>> АЗ=А;АЗ(:,3)=b

A3 =

2 1 8 1

1 -39-6 02-52 1 4 0 6

>> %Четвертая вспомогательная матрица

>> А4=А;А4(:,4)=b

А4 =

2 1-5 8

1-3 0 9

0. 2-1-5

1. 4-7 0

>> Главный определитель отличен от нуля

>> D=det(A)

D =

27

>> %Определители вспомогательных матриц

>> d(l)=det(Al);

>> d(2)=det(A2);

>> d(3)=det(A3);

>> d(4)=det(A4);

>> %Вектор неизвестных >>

x=d/D

х =

3 -4 -1 1

>> %Проверка >>

A*x'-b

ans =

0

0

0

0

Предложенное решение системы из четырех уравнений с четырьмя неизве­стными по формулам Крамера выглядит достаточно громоздко, поэтому на практике его используют довольно редко.

Задача 8.

Решить систему линейных уравнений из задачи 7 методом обратной матрицы. Метод обратной матрицы: для системы изп линейных уравнений сп неизвеcтнымиАх= b, при условии что определитель матрицыА не равен нулю, единcтвенное решение можно представить в видех=А^-1*b (вывод формулы см. в задаче 6). Итак, для того чтобы решить систему линейных уравнений мето-10м обратной матрицы, необходимо выполнить следующие действия:

■ сформировать матрицу коэффициентов и вектор свободных членов за­данной системы;

■ решить систему, представив вектор неизвестных как произведение мат­рицы, обратной к матрице системы, и вектора свободных членов (лис­тинг 76).

Листинг 76

>>А=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];

>> b=[8;9;-5;0];

>> %Решение системы: х=А^-1*b

>>inv(A)*b

x =

3.0000 -4.0000 -1.0000 1.0000

>> %проверка: А*х=b

» A*x

ans =

8.0000

9.0000

-5.0000

0.0000

Задача 9.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение системы линейных уравнений при помощи метода Гаусса основыва­ется на том, что от заданной системы, переходят к системе эквивалентной, которая решается проще, чем исходная.

Метод Гаусса состоит из двух этапов. Первый этап - это прямой ход, в резуль­тате которого расширенная матрица системы путем элементарных преобразо­ваний (перестановка уравнений системы, умножение уравнений на число, от­личное от нуля, и сложение уравнений) приводится к ступенчатому виду:

На втором этапе (обратный ход) ступенчатую матрицу преобразуют так, что­бы в первыхп столбцах получилась единичная матрица:

Последний, п + 1 столбец этой матрицы содержит решение системы линей­ных уравнений.

Исходя из выше изложенного, порядок решения задачи в MATLAB(лис­тинг 77) следующий:

■ сформировать матрицу коэффициентов А и вектор свободных членовb заданной системы;

■ сформировать расширенную матрицу системы, объединив А иb;

■ используя функцию rref, привести расширенную матрицу к ступенчато­му виду;

■ найти решение системы, выделив последний столбец матрицы, получен­ной в предыдущем пункте;

■ выполнить вычисление Ах -В; если в результате получился нулевой век­тор, задача решена верно.

Листинг 77.

>>Рeшение системы методом Гаусса

>> А=[2 -1 1;3 2 -5;1 3 -2);

>> b=[0;1;4];

>> C=rref([A b])%Приведение расширенной матрицы к треугольному виду

С =

1.0000 0 0 0.4643 О 1.0000 0 1.6786

0 0 1.0000 0.7500 >> х=С(1:3,4:4)%Выделение последнего столбца из матрицы х = %Решение системы 0.4643 1.6786 0.7500 >> А*х %Проверка

ans =

0

1

4