
- •Линейная алгебра Основные определения
- •Операция умножения матриц
- •Свойства операции умножения матриц
- •Определители (детерминанты)
- •Алгебраические дополнения
- •Обратная матрица
- •Базисный минор матрицы Ранг матрицы
- •Матричный метод решения систем линейных уравнений
- •Метод Крамера
- •Элементарные преобразования систем
- •Теорема Кронекера – Капелли
- •Метод Гаусса
- •Элементы векторной алгебры
- •Свойства векторов
- •Линейная зависимость векторов
- •Система координат
- •Декартова система координат
- •Линейные операции над векторами в координатах Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат
- •Скалярное произведение векторов
- •Векторное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов
- •Свойства смешанного произведения:
- •Уравнение поверхности в пространстве
- •Общее уравнение плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •Полярная система координат
- •Линейное (векторное) пространство
- •Линейные преобразования
- •Матрицы линейных преобразований
- •Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования
- •Введение в математический анализ Предел функции в точке
- •Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности
- •Основные теоремы о пределах
- •Некоторые замечательные пределы
- •Комплексные числа
- •Тригонометрическая форма числа
- •Действия с комплексными числами
- •Дифференциальное исчисление функции одной переменной Производная функции, ее геометрический и физический смысл
- •Основные правила дифференцирования
- •Производная обратных функций
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Общие правила нахождения высших производных
- •Исследование функций с помощью производной Возрастание и убывание функций
- •Точки экстремума
- •Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков
- •Выпуклость и вогнутость кривой Точки перегиба
- •Асимптоты
- •Вертикальные асимптоты
- •Наклонные асимптоты
- •Векторная функция скалярного аргумента
- •Параметрическое задание функции
- •Производная функции, заданной параметрически
- •Функции нескольких переменных
- •Производные и дифференциалы функций нескольких переменных
- •Полное приращение и полный дифференциал
- •Геометрический смысл полного дифференциала Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала
- •Частные производные высших порядков
- •Экстремум функции нескольких переменных
- •Условный экстремум
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Связь градиента с производной по направлению
Линейные операции над векторами в координатах Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат
тогда
линейные операции над ними в координатах
имеют вид:
Скалярное произведение векторов
Определение.
Скалярным произведением векторов
и
называется число, равное произведению
длин этих сторон на косинус угла между
ними.
=
cos
Свойства скалярного произведения:
=
2;
= 0, если
или
= 0 или
= 0.
=
;
(
+
) =
+
;
(m
)
=
(m
) = m(
); m=const
Если
рассматривать векторы
в
декартовой прямоугольной системе
координат, то
=
xa
xb
+ ya
yb
+ za
zb;
Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:
.
Пример.
Найти (5+ 3
)(2
-
),
если
10
-
5
+
6
-
3
= 10
,
т.к.
.
Пример.
Найти угол между векторами
и
,
если
.
Т.е.
= (1, 2, 3),
=
(6, 4, -2)
=
6 + 8 – 6 = 8:
.
cos
=
Пример.
Найти скалярное произведение (3- 2
)(5
- 6
),
если
15
-
18
-
10
+
12
= 15
+ 1236 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.
Пример.
Найти угол между векторами
и
,
если
.
Т.е.
= (3, 4, 5),
=
(4, 5, -3)
=
12 + 20 - 15 =17 :
.
cos
=
Пример.
При каком m
векторы
и
перпендикулярны.
=
(m,
1, 0);
=
(3, -3, -4)
.
Пример.
Найти скалярное произведение векторов
и
,
если
()(
)
=
=
10 +
+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.
Векторное произведение векторов
Определение.
Векторным
произведением векторов
и
называется вектор
,
удовлетворяющий следующим условиям:
1)
,
где
- угол между векторами
и
,
2)
вектор
ортогонален
векторам
и
3)
,
и
образуют правую тройку векторов.
Обозначается:
или
.
Свойства векторного произведения векторов:
1)
;
2)
,
если
или
=
0 или
=
0;
3)
(m)
=
(m
)
=m(
);
4)
(
+
)
=
+
;
5)
Если заданы векторы
(xa,
ya,
za)
и
(xb,
yb,
zb)
в декартовой прямоугольной системе
координат с единичными векторами
,
то
=
6)
Геометрическим смыслом векторного
произведения векторов является площадь
параллелограмма, построенного на
векторах
и
.
Пример.
Найти векторное произведение векторов
и
.
=
(2, 5, 1);
=
(1, 2, -3)
.
Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3),С(0, 1, 0).
(ед2).
Пример.
Доказать, что векторы
,
и
компланарны.
,
т.к. векторы линейно зависимы, то они
компланарны.
Пример.
Найти площадь параллелограмма,
построенного на векторах
,
если
(ед2).
Смешанное произведение векторов
Определение.
Смешанным
произведением
векторов
,
и
называется число, равное скалярному
произведению вектора
на вектор, равный векторному произведению
векторов
и
.
Обозначается
или
(
,
,
).
Смешанное
произведение
по модулю равно объему параллелепипеда,
построенного на векторах
,
и
.
Свойства смешанного произведения:
1)Смешанное произведение равно нулю, если:
а) хоть один из векторов равен нулю;
б) два из векторов коллинеарны;
в) векторы компланарны.
2)
3)
4)
5)
Объем треугольной пирамиды, образованной
векторами
,
и
,
равен
6)Если
,
,
то
Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.
Найдем
координаты векторов:
Найдем смешанное произведение полученных векторов:
,
Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.
Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).
Найдем
координаты векторов:
Объем
пирамиды
Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.
Sосн
=
(ед2)
Т.к.
V
=
;
(ед)