1.7. Принцип Паули

В 1925 году Паули установил квантово-механический закон, называемый принципом Паули или принципом исключения. В простейшей формулировке он гласит: в одном и том же атоме (или в какой-либо другой квантовой системе) не может быть двух и более электронов (либо других частиц с полуцелым спином), обладающих одинаковой совокупностью всех четырех квантовых чисел: n, ℓ, m_ℓ, m_s.

По-другому, число электронов z, находящихся в квантовом состоянии с одинаковым набором четырех квантовых чисел, равно либо нулю, либо единице:

или 1. (1.19)

Иначе, два электрона в одном и том же атоме должны различаться по крайней мере одним квантовым числом.

Максимальное число электронов, находящихся в состояниях, описываемых набором трех квантовых чиселn, ℓ и m_ℓ и отличающихся только ориентацией спинов электронов, равно

(1.20)

по той причине, что спиновое квантовое число m_sможет принимать лишь два значения:и.

2. Элементы квантовой статистики

2.1. Некоторые сведения из квантовой статистики

Одним из важнейших «объектов» изучения квантовой статистики, как и классической, является идеальный газ. Это связано с тем, что во многих случаях реальную систему, состоящую из фермионов (частиц с полуцелым спином) или бозонов (частиц с нулевым или целым спином) можно считать идеальным газом.

Идеальный газ с целым спином описывается квантовой статистикой Бозе-Эйнштейна. Распределение бозонов (или иначе бозе-частиц) по энергиям имеет вид

. (2.1)

В (2.1) – вероятность того, что квантовое состояние с энергиейЕзанято,к– постоянная Больцмана,Т– термодинамическая температура,μ–химический потенциал (он равен приращению внутренней энергии изолированной системы постоянного объема при изменении числа частиц на единицу).

Идеальный газ частиц с полуцелым спином описывается квантовой статистикой Ферми-Дирака. Распределение фермионов (или иначе ферми-частиц) по энергиям имеет вид

, (2.2)

где – вероятность того, что квантовое состояние с энергиейЕзанято ферми-частицей (электроном),μ– химический потенциал.

Если , то распределение Бозе-Эйнштейна (2.1) и Ферми-Дирака (2.2) переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана:

, (2.3)

где .

Условие соответствует тому, что, а это может быть при высоких температурах. Отсюда делаем вывод, что при высоких температурах оба «квантовых» газа по своим свойствам подобны классическому газу.

Система частиц называется вырожденной, если её свойства существенным образом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике.

Поведение как бозе-газа, так и ферми-газа отличается от поведения классического газа, они являются вырожденными газами. Вырождение газа становится существенным при весьма низких температурах и больших плотностях.

Для характеристики степени вырождения газа вводится параметр вырождения А:

. (2.4)

Функция распределения с помощью параметра вырождения для обеих квантовых статистик запишется так:

. (2.5)

Если параметр вырождения мал А<< 1, тои функция распределения (2.5) превращается в функцию Максвелла-Больцмана, лежащую в основе классической статистики невырожденного газа:

. (2.6)

Температурой вырождения Т₀ называется температура, ниже которой отчетливо проявляются квантовые свойства идеального газа, т.е. Т₀ – температура, при которой вырождение становится существенным. ЕслиТ >>Т₀, то систему частиц можно рассматривать как систему, подчиненную классическим законам.