2.7. Геометрическая интерпретация

и графо-аналитический способ решения задач ЛП

Рассмотрим стандартную задачу ЛП, поставленную в пространстве , т.е. допускающую проведение геометрического анализа на плоскости переменных:

Проанализируем геометрический смысл допустимого множества – решения системы неравенств задачи. Ограничения на знак переменныхочевидно, выделяют на координатной плоскости первую четверть (неотрицательный ортант). Каждое из основных ограниченийопределяет полуплоскость с границей, расположенную по ту сторону от нее, которая противоположна направлению вектора:

Рис. 2.1. Графическое решение неравенства

Таким образом, допустимое множество является пересечениемполуплоскостей и первой четверти координатной плоскости. Такое множество называютмногоугольным: оно всегда имеет конечное множество угловых точек – вершин, которые определяются как пересечение соответствующих прямых, ограничивающих допустимое множество. Как правило, представляет из себя выпуклый многоугольник (см. рис. 2.2), хотя, очевидно, возможны ситуации пустого множества либо некоторой "открытой" (неограниченной) многоугольной фигуры.

Рис. 2.2. Допустимое множество в задаче ЛП

Для изучения поведения целевой функции вовсе не обязательно строить ее график (плоскость), достаточно использовать карту линий постоянного уровня (изолиний). Построить ее несложно, если знаешь основное свойство изолиний линейной функции: они являются параллельными прямыми, перпендикулярными целевому вектору. Действительно, уравнениями для построения изолиний являются выражения – уравнения прямых; целевой вектор задает нормаль (перпендикуляр) к соответствующим прямым. Если заметить, что целевой вектор совпадает с градиентом целевой функции, то можно сформулировать важное для нассвойство: при параллельном переносе изолинии в направлении целевого вектора мы получаем новую изолинию, соответствующую большему значению целевой функции.

Таким образом, геометрическая интерпретация задачи ЛП может звучать следующим образом: нужно найти на многоугольном множестве точку (или точки), через которую (которые) проходит линия уровня целевой функции с наибольшим значением

Теперь несложно сформулировать графо-аналитический способ решения стандартных задач ЛП с двумя переменными:

• изображается допустимый многоугольник – пересечение полуплоскостей, являющихся решениями соответствующих неравенств;

• изображается целевой вектор ;

• через допустимое множество проводится перпендикуляр к целевому вектору – это изолиния целевой функции;

• путем перемещения изолинии параллельно самой себе в направлении целевого вектора до тех пор, пока не окажется по одну сторону от перемещаемой изолинии, визуально определяется точка (или точки) максимума;

• вычисляются координаты точки максимума (решением соответствующей системы уравнений, задающих прямые, точка пересечения которых и есть точка максимума) и максимальное значение целевой функции.

Замечание. Для определения точки минимума следует перемещать изолинию против направления целевого вектора.

При решении задач ЛП могут встретиться различные случаи существования оптимального плана:

а) существует и является единственной точкой;

б) существует и не единственен: оптимальный план является любой точкой отрезка или даже луча;

в) не существует, т.к. либо допустимое множество пусто, либо целевая функция неограничена.

Замечание. Графо-аналитический метод может быть применен к решению задач ЛП с числом переменных, большим 2, если их удается свести к двумерным задачам. Такое сведение возможно, если ограничения содержат достаточное количество линейно-независимых уравнений (их число меньше числа переменных на два). Тогда можно исключить из задачи все переменные, кроме двух, и исследовать получившуюся вспомогательную задачу графически.

Задание. Ознакомьтесь с более подробным изложением материала данного пункта, размещенным на методическом сайте БГУЭП (Курс оптимизации в экономике, лекция 3).

Решите самостоятельно задачи №№ 1.43; 1.44; 1.47; 1.51; 1.68 (В.И.Кустова, "Математическое программирование", часть 1).

14