2.3. Различные формы записи задачи лп

Кроме развернутого представления задачи ЛП в виде (2.1)-(2.3) применяются и другие формы ее записи.

Используя знаки суммирования, задачу ЛП можно представить в координатной форме:

Но наиболее удобной и компактной является векторно-матричная запись

где – план задачи ЛП,– целевой вектор,– вектор запасов,– технологическая матрица.

Напомним, что угловые скобки означают скалярное произведение заключенных в них векторов (сумму произведений их одноименных координат). Векторы, как и в первой главе, всюду понимаются как векторы-столбцы (иначе с ними нельзя вести алгебраические вычисления), а запись в строку применяется только из-за экономии места на странице.

Задание. Запишите задачу о производстве красок и задачу о рационе скота в векторно-матричной форме. Составьте задачи ЛП для процессов, описанных в пособии В.И.Кустовой "Математическое программирование", часть 1, №№ 1.159; 1.161; 1.169; 1.173; 1.184; 1.187.

2.4. Задачи лп в канонической и стандартной формах

В теории линейного программирования особо выделяют две формы записи оптимизационных задач – каноническую (применяемую при вычислениях) и стандартную (удобную при проведении экономического анализа модели).

Каноническая задача ЛП формулируется следующим образом. Требуется найти максимум линейной функции

(2.4)

от переменныхудовлетворяющихлинейным ограничениям-равенствам

(2.5)

и условиям неотрицательности всех переменных

. (2.6)

Соотношения (2.5) описывают систему линейных алгебраических уравнений снеизвестными, поэтому каноническую задачу ЛП можно трактовать как задачу о нахождении неотрицательного решения системы уравнений (2.5), доставляющего целевой функции (2.4) наибольшее значение. Ясно, что эта задача имеет смысл только в том случае, когда система (2.5) имеет бесчисленное множество решений (иначе нет проблемы выбора). Из линейной алгебры известно, что для этого число линейно-независимых уравнений должно быть меньше числа неизвестных. Считая, что среди уравнений (2.5) нет линейно-зависимых, в дальнейшем всегда будем предполагать, что в канонической задаче число ограниченийменьше числа переменных(это условие называютусловием невырожденности допустимого множества).

Матричная запись канонической задачи линейного программирования имеет вид

Стандартная задача ЛП отличается от канонической только типом основных ограничений. Все они должны иметь форму неравенств "": найти максимум линейной функции

(2.7)

от переменныхудовлетворяющихлинейным ограничениям-неравенствам

(2.8)

и условиям неотрицательности всех переменных

. (2.9)

В стандартной задаче (2.7)-(2.9) соотношение между числом ограничений и числом переменных может быть произвольным, поскольку любому неравенству удовлетворяет бесконечное множество точек.

Матричная запись стандартной задачи линейного программирования:

Примером стандартной задачи является рассмотренная в п.2.2 задача о красках. Заметим, что теперь должно быть очевидно преимущество канонической формы перед стандартной при выполнении расчетов: методы решения систем линейных алгебраических уравнений достаточно изучены, в то время как системы неравенств аналитически, как правило, не решаются.

Замечательным фактом в теории линейного программирования является то, что задачи ЛП легко преобразуются из одной формы в другую. Остановимся на этом подробнее.