attachments_26-06-2014_11-15-16 / Лекц 1-2 Пар 2 КЛАССИФИКАЦИЯ

соответствии с определением 2.2. Сравнивая формулы для коэффициентов

akl (x0 ) и kl заключаем, что в качестве матрицы A искомой линейной замены

П.2 Классификация КЛДУ в окрестности точки

В этом пункте рассматриваются только такие уравнения вида (20), в которых искомая функция зависит всего от двух переменных, например, u = u(x,y). Тогда уравнение (20) можно записать в виде

При этом подразумевается, что коэффициенты a, b, c не равны нулю одновременно.

Определение 2.4. Скажем, что в области G на плоскости сделана гладкая

(второго порядка) невырожденная замена переменных (ГНЗП-2)

Теорема 2.5. Пусть в области G 2 задано уравнение (22) с коэффициентами класса C2 (G) и a 0 . Тогда каждая точка из G имеет окрестность U , для которой существует ГНЗП-2 в U, приводящая уравнение (22) к каноническому виду в U.

Доказательство. Сначала выполним в уравнении (22) какую-нибудь ГНЗП-2, не требуя, чтобы она где-либо приводила (22) к каноническому виду. Пусть эта замена переменных (x, y), (x, y) , а значит,

u u (x, y), (x, y) . Тогда, по правилам дифференцирования сложной

функции двух переменных, находим (выписаны только члены со вторыми производными):

uxx u 2x 2u x x u 2x

uxy u x y u x y y x u x y (23) uyy u 2y 2u y y u 2y

Подставим теперь (23) в (22). Мы получим уравнение вида

a( , ) u 2b( , ) u c( , ) u f , ,u,u ,u 0 , где

a( , ) a(x, y) 2x 2b(x, y) x y c(x, y) 2y

b( , ) a(x, y) x x b(x, y) x y y x c(x, y) y y

c( , ) a(x, y) 2x 2b(x, y) x y c(x, y) 2y .

Сейчас нам нужна следующая вспомогательная лемма.

Лемма 2.6. Пусть в некотором открытом множестве U выполнены условия на функцию z z(x, y) : z C2 (U ) , zy 0 в U.

Тогда z(x, y) – решение уравнения (24) в том и только в том случае, если z(x, y) C – общее решение (обыкновенного!) дифференциального уравнения

Доказательство. Пусть z(x, y) – решение уравнения (24). Рассмотрим уравнение z(x, y) C . Так как zy 0 в U, то по теореме о неявной функции, на

некотором интервале оси Ox определена функция y f (x,C) . Далее, вдоль линии z(x, y) C выполняется равенство dz zxdx zydy 0 , а значит,

Аналогично доказывается, что эта замена невырожденная и приводит уравнение (22) к виду 2b u f 0 . После этого следует ещё раз заменить переменные по формулам , i i , и мы получим уравнение канонического вида u u f2 0.

Замечание. Так как при 0 правые части уравнений (26) комплексно сопряжены, то и их первые интегралы , ψ – тоже:

Re i Im , Re i Im .

Значит, канонические переменные при 0 выражаются формулами

2 Re , i i 2 Im .

3)0 . Видим, что (26) – одно уравнение y b a . Пусть C (x, y) –

лемме 2.6

Далее, из той же леммы следует, что a( , ) 0, а значит

b2 a c b2 0 b 0 , то есть (22) приобретает канонический вид u f3 0 . ■

Замечание. Если в КЛДУ число независимых переменных больше двух, то в общем случае привести такое уравнение к каноническому виду сразу в некоторой области невозможно. Действительно, для этого число n новых

(= старых) переменных должно быть не меньше числа условий на коэффициенты уравнения. Найдём число этих условий.

условий (формула суммы арифметической прогрессии).

Во-вторых, один из коэффициентов aii (x) 0, например, a11(x) 0, а остальные n – 1 коэффициентов aii (x) равны либо 0, либо a11(x) , либо a11(x) . Это, стало быть, ещё n – 1 условие.

Итак, должно выполняться неравенство 0,5 (n 1) n n 1 n , что возможно только при n 2 .

В заключение параграфа приведём важное

Определение 2.7. Уравнения (26) называются дифференциальными уравнениями характеристик исходного уравнения (22), а их интегральные линии C (x, y), D (x, y) – характеристиками уравнения (22).