10.2. Покрытия |
279 |
|
|
|
|
минимальные вершинно-реберные покрытия (минимальные опоры): {1, 4, 5}, {2, 3, 6}, {1, 3, 4, 6}, {2, 3, 4, 5}. Из них наименьшие: f1; 4; 5g, f2; 3; 6g.
Минимальные вершинно-вершинные покрытия: {1, 3, 5}, {1, 4, 5}, {1, 2, 5}, f1; 2; 6g; : : : ; f1; 6g; f3; 4g. Из них наименьшие – {1, 6}, {3, 4}.
Минимальные реберно-вершинные покрытия: fu1; u2; u3g,
fu1; u2; u6; u7g, fu1; u3; u4; u5g, fu1; u3; u6; u7g; : : : Из них наименьшее
– fu1; u2; u3g. J
Введем ряд чисел, характеризующих покрытия.
±(G) – опорное число, число вершин наименьшего вершиннореберного покрытия.
¯(G) – число внешней устойчивости (число всесмежности), число вершин наименьшего вершинно-вершинного покрытия.
¶(G) – число ребер наименьшего реберно-вершинного покрытия, накрывающее число.
З а м е ч а н и е. Определения, введенные нами для обыкновенных графов, можно распространить и на ориентированные графы без петель (кроме реберного покрытия). Например, вершинновершинное покрытие S µ X такое, что для любой вершины x 2 XnS существует дуга, идущая из некоторой вершины из S в вершину x. I
Теорема 10.1 (Галлаи) Для графа G = (X; U) множество S µ X
¹
есть пустой подграф тогда и только тогда, когда множество S = X n S является вершинно-реберным покрытием (опорой).
Для краткости будем называть пустой подграф – ВУМ (внутренне устойчивое множество), вершинно-реберное покрытие – опорой.
¹ |
° |
¹ |
µ |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
( |
1. Достаточность. Пусть S |
|
X – опора, тогда S = X n S – ВУМ. Действительно, любое ребро
¹
инцидентно хотя бы одной вершине из S, поэтому в S вершины попарно несмежны: в противном случае хотя бы одна вершина из этой пары должна была бы войти в опору.
°) 2. Необхдимость. Пусть S µ X – ВУМ, т.е. в S все вершины попарно несмежны. Другими словами, S – ВУМ, если любое ребро соединяет вершину из S с вершиной из его дополнения, но это и есть определение опоры. £
С л е д с т в и е . Для обыкновенного графа
"(G) + ±(G) = n(G).
280 |
Глава 10. Экстремальные части графа |
|
|
10.2.1 Задача о наименьшем покрытии
Общую задачу о наименьшем покрытии (ЗНП) мы уже рассмотрели в главе о бинарных отношениях. В данном разделе мы рассмотрим лишь каким образом задачи о нахождении наименьших покрытий на графах сводятся к общей задаче ЗНП.
10.2.1.1 Вершинно-реберное покрытие (ВРП)
Рассмотрим траспонированную матрицу инциденций AT графа G. Задача нахождения наименьшего ВРП сводится к нахождению наименьшего числа таких столбцов этой матрицы, чтобы каждая строка матрицы содержала единицу хотя бы в одном из выбранных столбцов (или логическая сумма этих столбцов давала бы единичный столбец). Для решения этой задачи можно использовать общий алгоритм ЗНП.
Пример 10.4. Для графа из предыдущего примера соответствующая матрица AT выглядит следующим образом:
AT |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
u1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
u2 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
u3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
u4 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
u5 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
u6 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
u7 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Наименьшие ВРП – f1; 4; 5g; f2; 3; 6g. J
10.2.1.2Вершинно-вершинное покрытие (ВВП)
Для нахождения наименьшего ВВП алгоритм решения ЗНП применяется к матрице (E + R), где R – матрица смежности, E – диагональная матрица.
З а м е ч а н и е. Здесь нужно учитывать, что вершина покрывает саму себя. I
Пример 10.5.
Для графа из рассматриваемого нами примера матрица
10.2. Покрытия |
|
|
|
|
|
281 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R? = (E + R) имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R? |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
2 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
3 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
4 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
5 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
6 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наименьшие ВВП – f1; 6g; f3; 4g. J
10.2.1.3 Реберно-вершинное покрытие (РВП)
Для нахождения наименьшего РВП алгоритм решения ЗНП применяется к матрице инциденций графа G над Bf0; 1g.
10.2.1.4 Перечисление покрытий
Рассмотрим задачу нахождения всех минимальных покрытий на примере вершинно-реберных покрытий для обыкновенного графа G = (X; U) . Напомним, что ВРП – это такое множество вершин S µ X, что любое ребро графа G инцидентно по крайней мере одной вершине из S. Определение ВРП можно выразить формально
в в виде высказывания
8u 2 U 9x 2 X[x 2 S ^ I(x; u)] = 1; |
(10.1) |
где I(x; u) – предикат “вершина x и ребро u инцидентны”. Высказывание (10.1) тождественно истинно, так как являет-
ся определением. Для множеств X = fx1; : : : ; xng вершин и U = fu1; : : : ; umg ребер высказывание (10.1) распишем более подробно:
8u 2 U[x1 2 S ^ I(x1; u) _ x2 2 S ^ I(x2; u) _ : : : _ xn 2 S ^ I(xn; u)] =
=V [x1 2 S ^ I(x1; u1) _ x2 2 S ^ I(x2; u1) _ : : : _ xn 2 S ^ I(xn; u1)] V[x1 2 S ^ I(x1; u2) _ x2 2 S ^ I(x2; u2) _ : : : _ xn 2 S ^ I(xn; u2)]
V[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .] [x1 2 S ^ I(x1; um) _ x2 2 S ^ I(x2; um) _ : : : _ xn 2 S ^ I(xn; um)]
Для упрощения записи вместо высказывания x 2 S введем логическую переменную x, такую, что