Пусть h4; Mi – частично упорядоченное Решетка множество.

где 9! означает “существует один и только один".

Операции ^ и _ можно также рассматривать как отображения M £ M в M, которые каждой паре ha; bi (a; b 2 M) ставят в соответствие элементы a _ b; a ^ b.

Пусть a; b; c 2 M. Можно доказать, что решетка обладает следующими свойствами.

1.a _ b = b _ a; a ^ b = b ^ a (коммутативность);

2.a_(b_c) = (a_b)_c; a^(b^c) = (a^b)^c (ассоциативность);

3.a _ a = a; a ^ a = a (идемпотентность);

4.a _ (a ^ b) = a; a ^ (a _ b) = a (поглощение);

Определение. Решетка h4; Mi дистрибутивна, если для всех a; b; c 2 M

a _ (b ^ c) = (a _ b) ^ (a _ c); a ^ (b _ c) = (a ^ b) _ (a ^ c).

Примеры 2.34.

1. Нетрудно проверить, что решетки на рис. 2.16. дистрибутивны:

Рис. 2.16. Дистрибутивные решетки

2. Решетка hµ; f?; f1g; f2g; f3g; f1; 2; 3ggi (рис. 2.17.) недистрибутивна. Действительно,

f1g _ (f2g ^ f3g) = f1g _ ? = f1g;

(f1g _ f2g) ^ (f1g _ f3g) = f1; 2; 3g _ f1; 2; 3g = f1; 2; 3g. Заметим, что для этой решетки операции _; ^ не могут

быть интерпретированы как теоретико-множественные операции [ и \.

f1; 2q; 3g

¡@

¡@

¡@

@¡

@¡

@¡q

?

Рис. 2.17. Недистрибутивная решетка

3.Линейно упорядоченное множество является решеткой (дистрибутивной).

4.Контрпримеры: понятие отношения порядка не равносильно понятию решетки:

Рис. 2.18. Эти множества не являются решетками

На левой диаграмме пара элементов hd; ei имеет не единственную нижнюю грань: d ^ e = fb; cg. На правой диаграмме пара элементов hd; ei не имеет верхней грани. J

Определение. Если h4; Mi – решетка и M имеет наименьший и наибольший элементы, то решетка называется ограниченной. Обозначим через 1 верхнюю грань всей решетки, а через 0 – нижнюю грань всей решетки.

Определение. Ограниченная решетка h4; Mi называется

решеткой с дополнениями, если для каждого a 2 M существует такой элемент a¹ 2 M, что a _ a¹ =1 и a ^ a¹ =0.

Элемент a¹ называется дополнением элемента a. Пример 2.35. Для решетки, приведенной на рисунке 2.19:

¹ ¹ ¹ ¹ ¹

0 = 1; 1 = 0; a¹ = d; b = d; c¹ = d; d = a; d = c:

1q

AA

a¡q AA

¡A

¡A

b ¡q qc Aq d

@¡

@¡

@¡

@q¡

0

Рис. 2.19. Ограниченная решетка

Определение. Решетка h4; Mi называется решеткой с единственным дополнением, если для каждого элемента a 2 M существует только одно дополнение.

Примером решетки с единственным дополнением может служить

hµ; B(f1; 2; 3g)i.

Определение. Булева решетка– это дистрибутивная решетка с единственным дополнением.

(выполняются законы двойного дополне-

Конечная булева решетка и решетка hµ; B(U)i изоморфны.

Запишем булеву решетку в виде

hB; +; ¢; ¹; 4; 0; 1i,

где B = fa; b; c; : : :g – некоторое (конечное или бесконечное) множество элементов, в котором выделены особые элементы 0 и 1. Операции +; ¢; ¹ удовлетворяют аксиомам булевой алгебры (включая законы де Моргана и законы поглощения a + ab = a; a(a + b) = a).

Отношение порядка 4 – нестрогое (рефлексивное, антисимметричное и транзитивное) связано с операциями следующим образом:

1.a 4 a + b;

2.ab 4 a;

3.b 4 a ) a + b = a; ab = b;

4. b 4 a & c 4 a ) b + c 4 a, a 4 b & a 4 c ) a 4 bc;

5. b 4 a ) b + c 4 a + c; bc 4 ac;

6. a + b = max[a; b], ab = min[a; b] (если a и b сравнимы);

l= hb1; b2; : : : ; bmi,

вкоторых ai и bi; i = 1; m принадлежат од-

ному и тому же совершенному порядку (вполне упорядоченному множеству), строгому или нестрогому. Отношение порядка на M обозначим символом >.

Будем говорить, что k доминирует l (k < l) тогда и только тогда, когда

a1 > b1; a2 > b2; : : : ; am > bm.

Для строгого порядка обозначения, соответственно, > и

Â.

В этом случае будем говорить, что k  l (k строго доминирует l), если

a1 > b1; : : : ; ai > bi; : : : ; am > bm,

т.е. имеется по крайней мере один ai и один bi, для которых выполняется строгое соотношение >.

Говорят, что отношение доминирования индуцирует отношение порядка (совершенное или частичное) между кортежами k и l.

Пример 2.36.

k = h7; 3; 0; 5i, l = h2; 2; 0; 4i; p = h3; 4; 1; 4i;