8.3.4Теорема о хорде каркаса.

Ребра графа G, не принадлежащие его каркасу T , называются хордами каркаса T в G.

Число ребер каждого из каркасов графа G называется рангом графа G и обозначается ½(G) = m ¡ ¸ = n ¡ ·.

Если граф связен, то каждый его каркас – дерево.

Теорема 8.6 (о хорде каркаса) Пусть T – некоторый произвольный каркас графа G, u – произвольная хорда этого каркаса.

В графе G существует цикл, содержащий u и не содержащий других хорд каркаса T , причем этот цикл простой и единственный.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Доказательство проводится для связного графа, т.к. для несвязного графа можно провести доказательство для каждой из компонент.

Пусть x; y – те вершины графа G, которые соединяет ребро u. Так как T – дерево, то в нем имеется единственная цепь, притом простая, соединяющая x с y (свойство дерева) и эта цепь вместе с хордой u образует тот самый единственный простой цикл. £

Эта теорема позволяет получать одни каркасы из других. Пусть T – некоторый каркас графа G, а u – какая-либо хорда этого каркаса (u – непетля: если непетель нет, то каркас T – единственный и задача теряет смысл).

По теореме 2.6 ребро u образует в G простой цикл вместе с некоторыми ребрами каркаса. Добавим ребро u к каркасу и удалим из образованного цикла какое-либо другое ребро (ранее принадлежавшее каркасу T ; в результате получится новый каркас графа G, отличный от T . С помощью такой операции замены ребер каркаса можно из любого каркаса получить любой другой каркас того же графа (и с тем же ½).

Пусть T и T 0 – два разных каркаса графа G. Добавим к T некоторое ребро u0 каркаса T 0, не принадлежащее T (такое ребро всегда найдется – число ребер в T и T 0 одно и то же и они разные). В образовавшемся простом цикле найдется ребро v, не принадлежащее T 0 (иначе T 0 содержал бы цикл). После добавления u0 и удаления v каркас T преобразуется в другой каркас T 00, у которого число ребер, не принадлежащих T 0, меньше чем у T .

Если T 00 =6 T , то повторяем подобную операцию с T 00, и так далее, до тех пор, пока не получим T 0.

Пример 8.3.