
- •1. Множества и бинарные отношения
- •Множества
- •Определения и примеры
- •1.1.1 Множество
- •Операции над множествами
- •Элементы комбинаторики
- •Бинарные отношения
- •Определения и примеры
- •2.1.2 Отображения
- •Операции над отношениями
- •Выполнение операций над отношениями
- •Свойства отношений
- •Эквивалентность и толерантность
- •2.4.1 Эквивалентность
- •2.4.3 Толерантность
- •2.4.6 Задача о наименьшем покрытии (ЗНП)
- •Алгоритм решения ЗНР
- •Отношения порядка
- •Строгий порядок
- •Свойства строгого порядка
- •Некоторые свойства дерева
- •Анализ отношений порядка
- •2.5.8 Решетки
- •2.5.10 Решетка
- •2.5.11 Булева решетка
- •Нормированные булевы решетки
- •Модели нормированной булевой решетки
- •Булевы функции (БФ)
- •Определения и примеры
- •Равенство булевых функций
- •3.3.1 СДНФ
- •3.3.3 СКНФ
- •3.3.5 Представление формул в СДНФ и СКНФ
- •Минимизация булевых функций
- •3.4.1 Импликанта
- •Полные системы булевых функций
- •2. Математическая логика
- •Логика высказываний
- •Основные понятия
- •4.1.7 Логическое следствие
- •4.1.8 Теоремы о логическом следствии
- •Логика предикатов
- •5.0.13 Связанные и свободные переменные
- •Предваренная нормальная форма
- •Стандартная нормальная форма
- •Подстановки и унификация
- •Метод резолюций для логики первого порядка
- •Исчисление высказываний
- •3. Графы
- •Определения и примеры
- •Определения графа
- •Части графа
- •Изоморфизм графов
- •Задание графов с помощью матриц
- •Матрица инциденций
- •Матрица соседства вершин
- •Матрица смежности
- •Типы графов
- •Обыкновенные графы
- •Графы Бержа
- •Помеченные и взвешенные графы
- •Другие способы задания графа
- •Связность графов
- •Маршруты, цепи, циклы
- •Число маршрутов
- •Компоненты связности
- •Нахождение компонент и бикомпонент
- •Кратчайшие цепи
- •Алгоритм Форда
- •Алгоритм Дейкстры
- •Обходы графа
- •Поиск в глубину на графе
- •Поиск в ширину на графе
- •Эйлеровы цепи и циклы
- •Эйлеровы пути
- •Гамильтоновы цепи и циклы
- •Цикломатика графов
- •Цикломатическое число
- •Деревья
- •Свойства дерева
- •Каркасы
- •Алгоритм нахождения каркаса графа.
- •Кратчайший каркас графа.
- •Алгоритм Прима.
- •Теорема о хорде каркаса.
- •Число каркасов графа.
- •Разрезы
- •Пространства суграфов
- •Пространство циклов
- •Пространство разрезов.
- •Потоки в сетях
- •Задача о максимальном потоке
- •Постановка задачи
- •Экстремальные части графа
- •Основные понятия
- •Покрытия
- •Задача о наименьшем покрытии
- •Паросочетания
- •Раскраска вершин графа
- •Хроматическое число
- •Оценки хроматического числа
- •Точные алгоритмы раскраски вершин

102 |
Глава 2. Бинарные отношения |
|
|
k  l; p  l, k и p – несравнимы. J
Пусть M1; M2; : : : ; Mn множества, каждое из которых вполне упорядочено отношением Á. Декартово произведение M1 £ M2 £ ¢ ¢ ¢ £ Mn упорядочено и образует решетку, которая называется векторной решеткой. Отношение порядка на ней – это отношение доминирования.
З а м е ч а н и е. За исключением булевой векторной решетки, каждая векторная решетка дистрибутивна, но не имеет дополнений. I
2.5.13 Нормированные булевы решетки
Булева решетка называется нормированной, если каждому элементу a 2 B сопоставляется неотрицательное число kak – норма элемента a, причем:
2: Если ab = 0; то ka + bk = kak + kbk; |
¾ |
1: 0 · kak · 1; k0k = 0; k1k = 1; |
– аксиомы нормы, |
(a; b 2 B – произвольные элементы). |
|
Теперь обозначим нормированную булеву решетку
hB; +; ¢; ¹; 4; kk; 0; 1i,
в которой к уже введенным ранее операциям добавляется унарная операция нормировки kk, j ak 2 R, где R – можество действительных чисел.
2.5.14Модели нормированной булевой решетки
1.Пусть булева решетка – это алгебра множеств и пусть U – конечное универсальное множество, jUj = n. Будем считать, что норма каждого A µ U задается числом элементов, входящих в A. Для выполнения первой аксиомы нормировки
kUk = 1 будем делить jAj=jUj. Так, если jAj = k, то норма будет
kAk = nk .
Аксиома Н2 имеет совершенно ясный смысл: если можества A и B не пересекаются, т.е. A \ B = ?, то

2.5. Отношения порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
103 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
k |
A |
[ |
B |
k |
= |
jA [ Bj |
= |
jAj + jBj |
= |
jAj |
+ |
jBj |
= |
k |
A |
k |
+ |
k |
B , |
|||||||
|
|
|
U |
|
j |
U |
j |
j |
U |
j |
|
j |
U |
j |
|
|
|
k |
||||||||
|
|
|
|
|
|
j j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kUk = 1:
Такое определение нормы kAk; A µ U обобщается следующим образом. Пусть элементы a1; a2; : : : ; an 2 U имеют разные “веса’ или “стоимости"и “вес"(“цена") задается неотрицательными числами w1; w2; : : : ; wn. Веса выбираются таким образом, чтобы
w1 + w2 + ¢ ¢ ¢ + wn = 1
Тогда, для A = fai1 ; ai2 ; : : : ; aik g
kAk = kfai1 ; ai2 ; : : : ; aik gk = wi1 + wi2 + ¢ ¢ ¢ + wik .
Если положить w1 = w2 = ¢ ¢ ¢ = wn = n1 , то получим предыдущее определение нормы.
2. Элементы 0; 1 решетки
hf0, 1}; +; ¢; ¹; 4; kk; 0; 1i
уже как обычные числа можно принять за нормы соответствующих элементов:
k0k = 0; k1k = 1.
При этом первая аксиома нормы выполняется. Так как
0 ¢ 0 = 0 и k0+0k = 0 = k0k + k0k; 0 ¢ 1=0 и k0+1k = 1 = k0k + k1k,
то выполнена и вторая аксиома нормы.
Такое определение нормы превращает двухэлементную булеву решетку в нормированную.
Эта модель нормированной решетки используется, в частности, в исчислении высказываний и алгебре контактных схем.
3. Вероятности. Пусть U – некоторое конечное множество элементарных событий. Например, A – событие типа: монета упала гербом вверх, завтра пойдет дождь, эта деталь бракованная.

104 |
Глава 2. Бинарные отношения |
|
|
Определим операции над событиями:
объединение событий A [B – произошло хотя бы одно из событий A или B;
пересечение A \ B событий – произошли оба события; дополнение A события A – произошло событие “не A". Особые элементы алгебры событий: достоверное событие
U и невозможное событие -. Примеры: U – монета упала кверху “орлом"или кверху “решкой"; - – монета упала кверху “орлом"и кверху “решкой".
Предположим, что алгебра событий нормирована с соблюдением аксиом нормировки (алгебра событий – булева).
Норму kAk элемента A рассмтриваемой булевой решетки обозначим через p(A), а аксиомы нормы запишем в виде:
B1: 0 · p(A) · 1; p(U) = 1; p(-) = 0;
B2: если A \ B = -, то p(A [ B) = p(A) + p(B)
(основные аксиомы теории вероятностей).
p(A) = 1, если событие A достоверно и p(A) = 0, если событие A невозможно. Число p(A) характеризует вероятность того, что событие A произойдет. Таким образом, объектом теории вероятностей является совокупность элементов, образующих нормированную булеву решетку.