telnov-machanika-and-TO

Отсюда

Дифференцируя еще раз, используя правило дифференцирования

Т.е, зная r(t) и j(t), мы можем найти a(t) . Происхождение четырех слагаемых следующее:

1.ускоренное движение по радиусу;

2.центростремительное ускорение, которое имеет место при равномерном движении по окружности;

3.это член появляется при одновременном (даже равномерном)

движении по радиусу и углу j. Половина этого члена связана с поворотом er , вторая половина с тем, что при увеличении радиуса, при по-

стоянной j, боковая скорость должна увеличиваться;

4. этот член есть ни что иное как тангенциальное ускорение при движении по окружности.

§ 11. Поворот твердого тела вокруг оси

Пусть тело вращается вокруг оси с угловой скоростью w , так что угол поворота dj = wdt , рис. 18. Введем вектор угловой скорости ω

31

Здесь первый член – это тангенциальное ускорение, второй член – нормальное ускорение v2/R .

§ 12. Инерциальные системы отсчёта, принцип относительности.

Вкачестве системы отсчёта может быть выбрана любая совокупность тел, движущаяся по произвольным законам. Есть класс особо важных в механике систем.

Тело называется свободным, если влиянием других тел на его движение можно пренебречь. Система отсчёта, связанная с набором покоящихся относительно друг друга свободных тел называется инерци-

альной системой отсчёта.

Обобщая экспериментальные данные, Галилей сформулировал закон инерции (называется также первым законом Ньютона):

свободное тело в любой инерциальной системе движется равномерно и прямолинейно.

Тела в выбранной инерциальной системе могут двигаться с разными скоростями, и с каждым из них можно связать другую инерциальную систему. Таким образом, существует бесконечное число инерциальных систем. Галилей также впервые высказал мысль, что

во всех инерциальных системах отсчёта механические явления протекают одинаково.

Вдальнейшем было осознано, что вообще все законы физики в инерциальных системах отсчета имеют одинаковый вид. Это общее утверждение называют принципом относительности (Галилей, Пуанкаре, Эйнштейн).

Здесь может возникнуть сомнение, ведь траектория движения падающего вертикально вниз на Землю тела выглядит по-разному в неподвижной относительно Земли системе отсчёта и движущейся относительно неё с постоянной скоростью. Противоречия здесь нет: принцип относительности утверждает только, что вид закона движения, записанный через собственные координаты систем отсчёта, имеет один и тот же вид. В данном случае закон движения одинаков во всех системах

32

§ 13. Преобразование Галилея

Пусть инерциальная система S ¢ движется поступательно со скоростью V относительно другой инерциальной системы S. Соответствующим сдвигом и поворотом осей координат (это никак не влияет на процессы, т.к. пространство однородно и изотропно) можно сделать так, чтобы оси были параллельны, и движение происходило вдоль осей

X, X ¢, рис. 19. Примем, что в момент

метрических соображений, как и в случае, если бы эти системы неподвижны относительно друг друга:

Эти формулы перехода от одной инерциальной системы к другой называются преобразованиями Галилея. Используемые при выводе предположения кажутся очевидными, однако, как мы скоро увидим, это верно только при малых скоростях.

Дифференцируя (13.2) по t , имеем

С учетом того, что dt = dt¢, получаем классический закон сложения скоростей

где v = dr/dt, v¢ = dr¢/dt¢. Аналогично для ускорений a = dv/dt, a¢ = dv¢/dt¢ и из (13.4) получаем

33

Тогда из формул (13.2) следует, что l = l¢ , т.е. длина предмета являются инвариантом при преобразованиях Галилея. Этот предмет (линейка) может лежать вдоль движения или поперек, в обоих случаях его длина не меняется.

34

Г Л А В А III

РЕЛЯТИВИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА

§ 14. Максимальная скорость сигналов, постулаты Эйнштейна

Постулат об абсолютности времени во всех системах отсчёта в классической механике подразумевает бесконечную скорость распространения сигналов. Однако уже давно было известно, что даже свет

имеет конечную скорость около 3 1010 см/сек (Рёмер, 1676 – затмения спутников Юпитера; 1728 – звёздная абберация; Физо, 1849 – измерения в земных условиях). Ремер заметил, что моменты затмения спутников Юпитера нерегулярные и за полгода набегает задержка около 20 минут. Он сообразил, что это связано с тем, что за счет вращения Земли вокруг Солнца расстояние до Юпитера меняется и эта задержка связана с конечностью скорости света.

В конце XIX века, в связи с созданием электродинамики, возникли проблемы, связанные с распространением света в пустоте. Пытались ввести понятие эфира. Эфир представлялся некой средой, относительно которой тела движутся с различной скоростью. Скорость света относительно эфира постоянна, так что скорость света относительно наблюдателя зависит от скорости наблюдателя, аналогично тому, как распространяется звук в воздухе или волны на воде. Введение эфира как среды – это введение выделенной системы отсчета, что нарушает принцип относительности, заключающийся в эквивалентности всех инерциальных систем отсчета. Гипотеза эфира не нашла подтверждения в опытах Майкельсона-Морли (1881) (схема эксперимента описана во многих учебниках).

Всё это побудило пересмотреть основные представления о пространстве и времени. В результате была создана Теория относительности (1905), называемая также частной или специальной Т.О., т.к. в ней рассматриваются только инерциальные системы отсчёта.

В основу теории относительности были положены два постулата:

Принцип относительности. Законы природы имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчёта. Никакими экспериментами нельзя установить какая система движется, а какая покоится.

35

Существует предельная скорость передачи сигналов c. Из прин-

ципа относительности следует, что эта скорость одинакова во всех системах отсчёта.

В настоящее время с высокой точностью установлено, что предельная скорость c совпадает со скоростью света в пустоте. Рассмотрим первые следствия этих постулатов.

§ 15. Одновременность, синхронизация часов, измерение расстояний

Из постоянства скорости c следует, что правило сложения скоростей Галилея неверно и в релятивистской теории нужно отказаться от идеи "всемирного" времени. Посмотрим, какие изменения необходимо внести для построения релятивистской теории, чтобы не прийти в противоречие с принципом относительности и конечностью максимальной скорости распространения сигналов с.

Рассмотрим снова две системы отсчета S и S ¢ , движущиеся поступательно относительно друг друга со скоростьюV . Направим оси OX

и OX ¢' систем отсчёта S ¢ и S параллельно скорости V движения S ¢ относительно S. Как определить одновременность событий в системах S и S ¢ ? Определение одновременности событий в одном и том же месте не вызывает затруднений: момент, когда событие происходит, определяется положением стрелок часов находящихся тут же, т.е. судить о времени мы можем лишь локально. Чтобы установить порядок следования во времени событий, происходящих на некотором расстоянии друг от друга, необходимо каждое из этих событий сопроводить одновременными с ними сигналами, сообщающими о локальном времени этих события. Затем эти сигналы нужно принять в каком-то месте и составить суждение о временной последовательности удаленных друг от друга событий. При этом надо обязательно удостовериться, что часы, сопутствующие каждому из событий, установлены как следует и идут правильно. Последнюю процедуру называют синхронизацией часов в выбранной системе отсчета. Исключительное постоянство скорости с делает сигналы, распространяющиеся с такой скоростью, самыми подходящими и для синхронизации часов, и для определения расположения событий во времени.

События в точках A и B назовём одновременными, если сопровождающие их сигналы, распространяющиеся со скоростью c, приходят в точку, расположенную посредине между A и B одновременно. Похожим способом могут быть синхронизованы все часы, находящиеся в

36

одной системе отсчёта. Пусть мы хотим синхронизовать часы в точке A с часами в начале координат O . Для этого в точке A устанавливаем отражающее зеркало, так что сигнал, испущенный из O , доходит до точки A и возвращается обратно за время Dt . После этого из точки

O снова в момент t 0 посылается сигнал в A с просьбой в момент прихода сигнала установить на часах в точке A время t0 + Dt / 2 . Таким

способом можно синхронизовать часы в каждой системе отсчёта, где они взаимно покоятся. Когда мы говорим, что в системе событие произошло в момент времени t – это значит, что часы, находящиеся в месте события в этот момент, показывали время t .

Рассмотрим поезд, движущийся мимо платформы. Пусть в средине поезда произошла вспышка. Свет достигнет начало и конец поезда одновременно в системе поезда. А будут ли эти два события одновременными в системе платформы? Нет, потому что к концу поезда свет движется с относительной скоростью c +v , а к началу поезда с c -v . Отсюда следует, что события одновременные в одной системе отсчета могут быть неодновременными в другой системе, даже может поменяться их последовательность.

Рассмотрим снова наши системы S и S ¢ . Будем полагать, что в начальный момент часы, установленные в началах систем отсчета (точки O иO¢ ), показывали одинаковое время t = t¢ = 0 . Обсудим теперь процедуру измерения размеров тел. Измерение длины неподвижного отрезка затруднений не вызывает. Надо взять метровую линейку и обычным способом, путем прикладывания к отрезку, измерить его длину. А как быть с движущимся отрезком? Здесь дело сложнее. Для измерения необходимо в некоторый момент времени одновременно отметить в своей системе отсчёта положение правого и левого концов движущегося отрезка, а затем, спокойно прикладывая масштабную линейку измерить расстояние между отметками. Для осуществления этой процедуры требуется, чтобы в каждой точке системы отсчёта находился наблюдатель с часами и отмечал время, когда мимо него проходит конец. Часы этих наблюдателей должны быть одинаковыми и синхронизованными.

Есть еще один, эквивалентный, способ измерения длины движущейся линейки. Пусть линейка пролетает мимо покоящихся часов со скоростью V . Если разность показаний часов между прохождением начала и конца линейки t , то длина движущейся линейки равна l =V t .

37

§ 16. Сохранение поперечных размеров, замедление хода движущихся часов

Пусть в системе S ¢ (определение систем S и S ¢ было дано ранее) имеется неподвижная линейка, расположенная вдоль осиY ¢. Мы хотим измерить длину этой линейки в системе S . Поместим в системе S такую же линейку, ориентированную вдоль Y . Очевидно, что когда линейки будут проходить мимо друг друга, их оси совпадут одновременно как в системе S , так и системеS ¢ . Поскольку наблюдатели, сидящие вдоль линеек, окажутся "нос к носу", то им нетрудно будет решить, чья линейка длиннее. Из симметрии картины ясно, что концы линеек совпадут. Отсюда следует вывод: измеренные наблюдателями в разных системах отсчета поперечные размеры тел одинаковы и не зависят от движения систем отсчета.

Еще более просто прийти к такому выводу рассматривая два одинаковых соосных кольца, один из которых покоится, а другой движется. Если бы при движении поперечные размеры изменялись, то одно из колец прошло бы внутри другого. Из симметрии задачи, ясно, что кольца равноправны и такого не произойдет.

Рассмотрим теперь ход часов. В качестве часов может быть исполь-

Рис. 20

зован любой периодический процесс. Пусть часы состоят из двух отражателей, расположенных на жестком стержне, и между ними движется короткий сигнал, распространяющийся со скоростью c, рис.20а. Пусть такими часами снабжены все наблюдатели в системе S . Одни из

38

таких часов расположим в системе S ¢ вдоль оси Y ¢. Что скажут наблюдатели в системе S , присмотревшись к работе движущихся относительно них часов? В системе S ¢ сигнал проходит путь туда и обратно за время

С точки зрения наблюдателей в системе S сигнал за один период проходит путь, изображенный на рис. 20б. Пусть период движения света по часам в S равен t . Поскольку поперечный размер при движении не меняется и скорость сигнала равна c, то из теоремы Пифагора следует

Отсюда следует вывод: движущиеся часы идут медленнее, чем течёт время в неподвижной системе в g = 1 1 -V 2c2 > 1 раз. Это яв-

ление многократно наблюдали в экспериментах с быстро движущимися нестабильными частицами. Увеличение их времени жизни достигало тысяч раз в точном согласии с предсказанием.

В связи с этим явлением замедления времени часто возникает вопрос, сформулированный как "парадокс близнецов". Один из братьев близнецов улетел с Земли на ракете и, вернувшись домой, оказался моложе своего брата. "Парадокс" заключается в том, что вроде бы все было симметрично, и непонятно кто от кого летал. Постарел, однако, один больше другого. Парадокса здесь, конечно, никакого нет. Обратите внимание, что в нашем рассмотрении в системе S ¢ сигнал был испущен и принят в одной точкеA , в то время как в системе S эти со-

бытия произошли в разных точках A1 иA2 . Симметрии нет. В пара-

доксе близнецов тоже нет симметрии. Близнец, оставшийся на Земле, всё время находился в одной и той же инерциальной системе, летавший же на космическом корабле при развороте назад перепрыгнул из одной инерциальной системы в другую. При таком переходе нужно синхронизовать заново все часы в системе космонавта. Поэтому считать, что космонавт покоился, а Земля летала от него и вернулась назад

39

просто некорректно. Правильный ответ получается при рассмотрении задачи в системе Земли, т.е. действительно близнец-космонавт окажется моложе своего брата-близнеца, оставшегося на Земле.

В экспериментах на ускорителях рождаются различные нестабильные частицы. Они пробегают некоторый путь в детекторе и распадаются. В этих экспериментах с огромной точность проверено, что их среднее время жизни дается формулой (16.3).

§ 17. Сокращение продольного размера движущегося тела

Посмотрим, что произойдет, если те же часы в системе S ¢ положить вдоль оси X ¢.. От этого их длина и скорость хода в системе покоя не изменятся. С точки зрения наблюдателей в системе S сигнал в

движущихся относительно них часах за время t1 пробегает от левого конца до правого, а затем за время t2 возвращается обратно. При этом

путь, проходимый сигналом при его распространении слева направо, равен длине часов плюс смещение правого конца за время t1 , т.е.

Здесь l – пока неизвестная длина часов в системе S . При движении сигнала справа налево путь будет меньше l на смещение левого конца, т.е.

Период часов, лежащих на боку, естественно, не отличается от показаний часов, стоящих вертикально, отсюда, с учетом (16.3), (17.1), (17.2), получаем

Отсюда находим длину горизонтально лежащих часов l , которая, оказывается, не совпадает с l0 :

Итак, измеряемый размер тела вдоль направления движения сокращается!

40