telnov-machanika-and-TO

Принцип суперпозиции

Если в среде возбуждено несколько волн, и для каждой из них имеется решение вида (63.6), то нетрудно видеть, что и сумма этих волн является решением волнового уравнения линейного (в первой степени) по амплитуде. Это означает, что волны никак не влияют друг на друга, т.е. справедлив принцип суперпозиции.

Нетрудно сообразить, что для волн большой амплитуды это не так. Если изменение плотности в волне порядка самой плотности, то другие волны будут отражаться от таких перепадов плотности, так же как звуковая волна в воздухе отражается от стен.

Ниже мы получим аналогичное уравнение для натянутой струны, а затем еще раз проанализируем решение волнового уравнения (63.5) и

поймем, как y1,2 зависят от начальных условий.

§ 64. Волны в натянутой струне

Рассмотрим струну, натянутую с силой T , по которой на некотором участке Dl частицы имеют малые смещения x в поперечном направлении. Соответствующее продольное

Уравнение движения по X

161

отсюда получаем волновое уравнение и скорость волны в натянутой струне

Получим скорость в струне другим, более элементарным способом. Пусть волна бежит по струне со скоростью c . Перейдем в систему бегущей волны. Струна имеет в точке горба возмущения некий радиус кривизны R , по которому перетекает масса струны. Частицы струны в этой системе отсчета испытывают центростремительное ускорение,

вызванное натяжением. Сила, действующая на участок малой длины l равна F = 2T sin a2 »Ta » TlR . Масса этого участка m = rSl , и ус-

корение

§ 65. Энергия в волне

162

Как нам известно, потенциальная энергия растянутой пружинки

В случае приложенной к торцу стержня силы в стержне бежит волна и, в соответствие с (62.3) и (62.5),

Таким образом, кинетическая и потенциальная энергии в бегущей волне равны!

§ 66. Начальные условия

Вернемся снова к общему решению волнового уравнения (63.6), состоящего из волн, бегущих в противоположные стороны. Предположим, в некоторой области произошло мгновенное увеличение давления (ударили по стержню сбоку), тогда в начальный момент есть только повышенное давление P в некоторой области, но частицы стержня никуда не движутся. Это состояние можно представить как две проти-

воположно бегущие волны, каждая с давлением P2 и скоростями час-

тиц в волне v . При наложении волн, в соответствие с принципом суперпозиции, давления и скорости сложились, давление стало P , а скорость ноль. В результате данное возмущение вызовет две одинаковые волны, бегущие в разные стороны. В данном примере в начальном состоянии была конечная потенциальная энергия и нулевая кинетическая. Если бы они были равны, то волна побежала бы в одну сторону, туда, куда направлена скорость частиц. В промежуточном случае (неравные потенциальные и кинетические энергии) возникнут две волны с неравными амплитудами.

163

§ 67. Столкновение стержня со стенкой, столкновение двух стержней

Столкновение со стенкой

vотсчета стержни сталкиваются как бы с неподвижной стенкой и, следовательно, ме-

няют движение на противоположное. Возвращаясь обратно в лабораторную систему, находим, что налетающий стержень остановился и передал полностью свой импульс

вначале покоящемуся стержню.

Столкновение стержней разной длины.

Пусть короткий стержень налетает со скоростью v на покоящийся более длинный стержень. Перейдем в систему центра масс, движу-

щуюся со скоростью v2 . В этой системе стержни налетают с одинако-

164

вой скоростью и после столкновении их торцы остановятся и по стержням побегут волны сжатия. Торцы остановятся, поскольку пока волны не сбегали туда-сюда в этом месте ничего не известно о длинах стержней. Т.е. вначале ситуация такая же как и при столкновении стержней одинаковой длины. Наконец по короткому стержню пробежала волна разряжения, и он полетел в обратном направлении. В длинном стержне аналогичная волна разрежения еще не достигла границы столкновения, однако после отлета короткого стержня этот конец оказался свободным и от него пошла волна разряжения, а сам конец стал двигаться в вдогонку отлетающему короткому стержню с той же скоростью, но не давя на него. Далее в длинном стержне будут еще долго бегать волны сжатия и разряжения, но он уже не будет давить на короткий стержень. Перейдя обратно в лабораторную систему, мы находим, что короткий стержень остановился, а, стало быть, длинный стержень полетел с его импульсом (импульс всегда сохраняется).

Получился удивительный результат. Короткий стержень останавливается как в случае столкновения со стержнем той же длины, так и при столкновении с более длинным стержнем. В первом случае при соударении сохраняются и импульс и энергия (передаются покоящемуся стержню), а во втором случае энергия длинного стержня

P2 < P2 , следовательно, удар неупругий, хотя и сталкиваются аб-

2m2 2m1

солютно упругие тела. Это связано с тем, что часть кинетическая энергия перешла в колебания длинного стержня, которые постепенно затухли, перейдя в хаотическое движение молекул, т.е. тепло.

Надо заметить, что продемонстрировать данный факт экспериментально очень трудно, поскольку нужен идеальный контакт торцов стержней.

§68. Стоячие волны

Пусть две синусоидальных волны бегут в противоположных направлениях:

165

где w —частота, k = 2lp . Фазовая скорость волны (точки с постоянной

фазой) c = wk . Это могут быть налетающая и отраженная от стенки волны. Суммарная амплитуда

В узлах молекулы всегда неподвижны, а в пучностях колеблются с максимальными амплитудами.

Если в цилиндре с газом возбуждена продольная волна или в натянутой струне возбуждена поперечная волна, то на торцах (концах) смещения частиц будут равны нулю, значит, там расположены узлы. Таким образом, в этих системах могут существовать монохроматиче-

ские волны только с длиной волны

где L — расстояние между торцами, т.е. укладывается целое число полуволн. Если начало струны имеет ко-

ординату x = 0 , то амплитуда стоячей волны будет

166

Эта формула получена из (68.3) подстановкой длины волны (68.6) и фазы такой, что при x = 0 амплитуда равна нулю. На рис. 48 показана стоячая волна в струне с l = L/2 .

Пусть в цилиндре с газом динамик на торце сгенерировал звуковой импульс протяженностью короче длины цилиндра, тогда этот сигнал будет бегать туда-сюда. Однако, он является суперпозицией монохроматических стоячих волн с длинами, даваемыми формулой (68.6), таких, что амплитуды на торцах каждой волны равны нулю.

Когда мы оттягиваем гитарную струну за середину, она имеет треугольную форму, значит, не является монохроматической волной. Такая форма складывается из стоячих волн с l = (2L), (2L / 2),(2L / 3)...

При дергании струны за середину вторая гармоника вообще не возникает, так как она несимметрична относительно середины струны. Несмотря на наличие многих частот в основном слышна самая низкочастотная гармоника (основная гармоника) с l/2 = L (укладывается одна

полуволна).

167

Г Л А В А VIII

ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

§ 69. Общее решение для движения в центральном поле

В данной главе изучается движение тел, связанных силами, действующей по линии, соединяющей тела. Во взаимодействии участвуют всегда не менее двух тел. Как было показано в § 28, в случае двух тел задачу можно свести к движению одного тела с приведенной массой в поле неподвижного (бесконечно тяжелого) тела. Вспомним основные моменты.

Задача двух тел

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц, сила взаимодействия которых зависит только от расстояния:

Таким образом, задача двух тел сводится к задаче движения одного тела с массой m под действием силы F(r) .

Выберем начало отсчета в системе центра масс. Расстояние частиц относительно центра масс r1 и r2 находится из уравнений

Импульсы и кинетические энергии тел в системе центра масс

168

т.е. еще раз видим, что задача двух тел сводится к задаче о движении приведенной массы в поле бесконечно тяжелого источника поля. После нахождения r(t), траектория движения каждого из тел относитель-

но центра масс находится из соотношений (69.6).

Сохранение момента импульса в центральном поле

Далее мы будем рассматривать движение двух тел, связанных силой, действующей вдоль линии, соединяющей тела. Как было показано, данная задача сводится к движению приведенной массы в центральном поле. Момент импульса сохраняется в любой замкнутой системе, а в центральном поле он сохраняется автоматически, поскольку момент сил, действующий на движущееся тело относительно силового центра равен нулю. Действительно, момент импульса тела с импульсом p на расстоянии r от источника поля

второй член также равен нулю, т.к. сила F = p направлена вдоль r . Поскольку L = [r × p] = const , то движение происходит в одной

плоскости, перпендикулярной L .

Общее решение

Для нахождения траектории и периода движения достаточно воспользоваться законами сохранения момента импульса и энергии. В цилиндрических координатах

169

это означает, что площадь, заметаемая радиус-вектором за единицу времени (секториальная скорость), постоянна

Как обсуждалось ранее в § 31, центральное поле является потенциальным (консервативным), т.е. в нем справедлив закон сохранения энергии

что соответствует радиальному (одномерному) движению в эффективном потенциале Uэф(r) , содержащем кроме потенциальной энергии

бежным потенциалом или центробежной энергией. Отсюда находим связь между временем и радиальной координатой

и подставляя dt из (69.15), получаем уравнение траектории в плоскости (r,j)

170