§13. Гильбертовы пространства

Определение 1.Пусть- линейное пространство и пустьставится в соответствие действительное число, обозначаемоеи называемоескалярным произведением,удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам скалярного произведения):

1. ;

2. ;

3. ;

4. , причём.

Определение 2.Линейное пространствос введённым в нём скалярным произведением называетсяевклидовым или предгильбертовым пространством.

Теорема 1.Всякое предгильбертово пространство является нормированным пространством с нормой.

Доказательство:

Проверим выполнение аксиом 1-3 нормированного пространства:

1. Так как , то корень определён и неотрицателен, следовательно,.

.

2. .

3. .

Рассмотрим квадратный трёхчлен от :

.

Так как , то

- (1)

неравенство Коши-Буняковского.

Далее

.

Теорема 2.Скалярное произведение непрерывно по обоим аргументам, то есть если(в смысле сходимости по норме), то.

Доказательство:

, где;

, где;

.

Определение 3.Полное предгильбертово пространство называетсягильбертовым пространством.

Примеры предгильбертовых и гильбертовых пространств

1. Пространство .

Введём скалярное произведение по формуле:

,. (2)

Покажем, что (2) задаёт скалярное произведение, для этого проверим выполнимость аксиом 1-4 скалярного произведения:

1.

2.

3.

4.

.

Из 1-4 следует, что - предгильбертово пространство. В силу полноты, доказанной ранее, оно является гильбертовым пространством.

2. Пространство ,, - гильбертово пространство.

3. Пространство ,, - предгильбертово пространство.

15