Некоторая дополнительная терминология

Определение 21.МножествоЕназываетсясовершенным, если.

Из определения 21 следует, что совершенное множество не имеет изолированных точек и любая его предельная точка ему принадлежит.

Пусть АиВ– два множества в метрическом пространствеМ.

Определение 22.МножествоАназываетсяплотным во множестве В, если.

Определение 23.МножествоАназываетсявсюду плотным в М, если.

Пример 1. МножествоQвсюду плотно вR, так как.

Определение 24.МножествоАназываетсянигде не плотным в М, если любое открытое множество этого пространства содержит открытое множество, не содержащее точек множестваА.

Пример 2. МножествоZнигде не плотно вR.

Определение 25.Множествоназываетсяограниченным, если оно содержится в некотором шаре, то есть

.

§11. Предел последовательности в метрическом пространстве Сходящиеся последовательности

Пусть М– метрическое пространство с метрикой,,, - последовательность точек метрического пространства.

Определение 1.Точканазываетсяпределом последовательности (х_п), если числовая последовательностьсходится к нулю, то есть

.

Обозначается или. Таким образом, по определению

.

Если последовательность имеет предел, то она называетсясходящейся к а, в противном случае –расходящейся.

Условие означает, что точки. Тогда можно дать следующее определение предела последовательности:

Определение 2.Точканазываетсяпределом последовательности (х_п), если

.

При определение 1 совпадает с известным определением предела числовой последовательности.

Теорема 1.Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство:

От противного. Пусть и,. По аксиоме треугольника имеем:

.

Переходя к пределу при , получим:

.

Полученное противоречие доказывает теорему.

Определение 3.Последовательностьназываетсяограниченной, если множество её членов ограничено, то есть

.

Теорема 2.Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство:

Так как последовательность сходится, то

.

Это верно в том числе и для :

.

Обозначим

.

Тогда

.

По определению последовательность ограничена.

Определение 4.Последовательностьназываетсяподпоследовательностью последователь-ности (х_п), если.

Теорема 3.Если последовательность, сходится ка,, то и любая её подпоследовательностьсходится ка.

Доказательство:

По условию

.

Возьмём произвольную подпоследовательность последовательности:. Тогда

.

Итак,

.

Теорема 4.Точкааявляется предельной точкой множестваЕтогда и только тогда, когда существует последовательность, точек, отличных отаи сходящаяся ка:

.

Доказательство:

1. Необходимость.

Пусть а– предельная точка множестваЕ.Докажем, что существует последовательность, точек, отличных отаи сходящаяся ка.

Рассмотрим последовательность положительных чисел . Приипо определению предельной точки множества

.

Возьмём

.

По определению предельной точки множества

.

Возьмём

.

По определению предельной точки множества

и так далее...

По определению предельной точки множества

, где.

Продолжим этот процесс до бесконечности.

Заметим, что

.

Следовательно, и.

2. Достаточность.

Доказательство следует непосредственно из определения предела последовательности: по определению в любой окрестности точки анаходятся все члены последовательности, начиная с некоторого. Выбираем любой из них.