Госы 5к Надя / ЛекцииТФДП / измеримые функции
.doc§26. Измеримые функции
Пусть Е - измеримое множество, ЕR и задана функция f, область определения которой содержит Е.
Определение. Функция называется измеримой на , если множество измеримо.
Теорема 1. Пусть Е измеримо, f задана на Е. Функция f измерима тогда и только тогда, когда АR одно из множеств 1-3 измеримо:
1. Е(f ≤ A);
2. E(f ≥ A);
3. E(f < A).
Доказательство:
1. f измерима E(f ≤ A) измеримо.
) f измерима по определению E(f > A) измеримо АR. E(f ≤A)=E\E(f>A). По следствию из теоремы 2(а) множество E(f ≤ A) измеримо как дополнение измеримого множества до Е.
)Пусть E(f ≤ A) измеримо E(f > A) = E\E(f ≤ A) измеримо, следовательно, по определению f измерима.
2. f измерима E(f ≥ A) измеримо.
) f измерима. Докажем, что E(f≥A) измеримо.
Покажем методом встречных включений, что .
а) xo E(f≥A) f(xo)≥A nN nN .
b) n N n N. Переходя к пределу при n, получим, что f(xo)≥A xo E(f ≥ A).
Так как f измерима, то измеримо n N. Следовательно, по теореме 2(б) измеримо.
) E(f≥A) измеримо. Докажем, что f измерима.
Рассмотрим множество E(f > A). Покажем, что .
a) Пусть xoE(f>A) f(xo) >A. Очевидно, что noN: xo.
b) xo , no N f(xo)>A xoE(f>A).
По условию измеримо nN и по теореме 1(а) множество E(f>A) измеримо f по определению измерима.
3. Провести доказательство самостоятельно.
§27. Арифметические действия над измеримыми функциями
Теорема 2. Пусть f и g - измеримые функции. Тогда множество E(f >g) = {xE: f(x)>g(x)} измеримо.
Доказательство:
Занумеруем рациональные числа . Покажем методом встречных включений, что .
а) Пусть xoE(f>g) f(xo) > g(xo).
Q : f(xo)>>g(xo) f(xo)>и g(xo)< xoE(f >) и xoE(g <) xoE(f>)E(g<) xo.
б) Пусть xo noN : xoE(f >) и xoE(g <) f(xo)>и g(xo)< f(xo)>g(xo) xoE(f>g).
Так как f измерима, то E(f >) измеримо nN. Так как g измерима, то E(g <) измеримо nN. Следовательно, по теореме 2 множество E(f >)E(g <) измеримо nN, следовательно, по теореме1(а) множество E(f >g) измеримо.
Теорема 3. Пусть функции f и g определены на измеримом множестве Е.
1) Если f измерима, k,rR, то функции kf и f +r измеримы на Е.
2) Если f и g измеримы на Е, то f ± g измерима на Е и fg измерима на Е.
3) Если f(х)≠0 хЕ, то 1/f ,g/f – измеримые функции на Е.
Доказательство:
1. а) Докажем, что функция kf измерима на Е, то есть что множество Е(kf >A) измеримо АR.
Рассмотрим неравенство kf >A.
Пусть k=0. Имеем 0>A E(0>A)={xE: 0>A} - измеримо, так как Е и - измеримые множества. Следовательно, функция kf измерима при k=0.
Пусть k≠0, тогда
- измеримо, так как f измерима kf измерима.
б) Докажем, что f+r измерима на Е.
f+r – измерима на Е множество E(f+r>A) измеримо, но E(f+r>A)=E(f>A-r) измеримо (так как f измерима, ).
2. а) Докажем, что f±g измерима на Е.
f±g – измеримая функция множество Е(f ±g >A) AR измеримо.
Е(f±g>A)=Е(f >Ag), но функция (–g) измерима по пункту 1) данной теоремы, функция Аg измерима по тем же соображениям по теореме 2 множество Е(f>Ag) измеримо f±g измерима.
б) Докажем, что fg измерима на Е.
Пусть . Докажем, что f 2 измерима на Е, то есть множество Е(f 2>A) измеримо АR.
E(f2>A) .
Очевидно, что и Е - измеримые множества, то есть множество Е(f 2>A) измеримо АR.
Пусть далее . Заметим fg=. Так как f±g – измеримые функции, то функции (f±g)2 также измеримы - измеримая функция, то есть fg – измеримая функция.
3. а) Докажем, что - измеримая функция на Е, то есть множество измеримо АR.
.
Пусть А=0, тогда .
Пусть А≠0, тогда .
Если А>0, то 0<f(x)<.
Если А<0, то f(x)< или f(x)>0.
Таким образом,
- измеримо АR.
б) Докажем, что - измеримая функция на Е.
измерима на Е, так как функции и измеримы.
§28. Интеграл Лебега
Пусть Е – измеримое множество, - измеримая функция на Е. Будем предполагать, что ограничена на Е, то есть существуют , такие, что . Разобьем на части точками , ,…,. Разбиение обозначим : . Каждому полученному промежутку будет соответствовать множество
=, .
Составим суммы: , , которые назовём нижняя и верхняя суммы Лебега.
Свойства множеств .
1. , ;
2. - измеримо (так как - измерима);
3. ;
4. (из 1-3).
Очевидно, что (из определения).
Упражнение. Доказать самостоятельно свойства 1-4.
Определение. Функция суммируема или интегрируема по Лебегу, если при любом разбиении этого отрезка, где . Общее значение этих пределов называется интегралом Лебега от функции на множестве Е и обозначается .
Таким образом,
.
Свойства сумм Лебега
Теорема 1. Пусть - некоторое разбиение отрезка , то есть . Разбиение получается из Т добавлением новых точек, то есть ; , - суммы Лебега, соответствующие разбиению Т; , - суммы Лебега, соответствующие разбиению . Тогда , .
Доказательство:
Доказательство достаточно провести для случая добавления одной точки, то есть , .
, где .
Множество разбиваем на два множества: ; . Тогда ; . Следовательно,
;
.
Далее
,
.
Так как , то . Аналогично доказывается, что .
Теорема 2. Для произвольных разбиений Т и , (любая нижняя сумма Лебега не превосходит любой верхней).
Доказательство:
Рассмотрим разбиение . Так как можно получить из Т добавлением новых точек из , то по теореме 1 , (1).
С другой стороны, , то есть его можно получить из добавлением новых точек из Т. Тогда по теореме 1, , (2). Кроме того, (3).
Из (1), (2), (3) следует, что , .
Теорема 3. Пусть Е – измеряемое множество и
1) ограничена на множестве Е;
2) измерима на Е.
Тогда существует .
Доказательство:
Множество ограничено сверху, так как , следовательно, существует . Множество ограничено снизу, следовательно, существует . Докажем, что . , так как s, S: . Пусть - некоторое разбиение , и - нижняя и верхняя суммы Лебега, соответствующие данному разбиению. Тогда
, ,
.
Рассмотрим разность :
.
При , следовательно, , то есть и функция интегрируема на Е.
§29. Свойства интеграла Лебега
Свойство 1 (теорема о среднем). Пусть Е – измеримое множество, – измеримая функция на Е и xE. Тогда
.
Доказательство:
Фиксируем N. Положим , . Тогда . Разобьем отрезок [A;B] точками и составим множества . Так как , то
.
Просуммируем эти неравенства по k:
.
По свойству 4 множеств имеем:
.
Перейдем к пределу при :
.
Так как n – любое натуральное число, то, переходя к пределу при , получим:
.
Следствие 1. Пусть , Е - измеримое множество. Тогда .
Доказательство:
Возьмем и , тогда .
Следствие 2. Если , – измеримая функция на Е , Е – измеримое множество, то
.
Доказательство:
Так как , то возьмем а=0 (b=0), получим .
Следствие 3. Если , то для любой ограниченной функции , определенной на измеримом множестве Е, .
Свойство 2. Пусть , при , - измеримое множество. Пусть далее – измеримая, ограниченная функция на Е. Тогда
.
Доказательство:
Так как ограничена на Е, то .
I. Докажем свойство для случая двух множеств: , . Возьмем любое разбиение Т отрезка [A,B]: T: A=. Составим множества
,
,
.
Так как - множество тех точек из , для которых , то . Аналогично, . Так как , то . Кроме того,
.
Таким образом,
, .
Умножим части равенства на , получим:
Просуммируем эти равенства по k:
.
Перейдем в последнем равенстве к пределу при :
.
II. Случай , при . В этом случае справедливо утверждение:
.
Доказательство проводится методом математической индукции (Самостоятельно!).
III. Случай , при .
По теореме 1(б) (основные теоремы об измеримых множествах) , то есть ряд сходится , где , то есть при .