Госы 5к Надя / ЛекцииТФДП / измеримые функции

Рассмотрим множество Е=, где . Из I и II следует, что

. (1)

Так как , то по свойству 1

(2)

Из (2) по теореме о пределе промежуточной последовательности следует, что при . Перейдем в (1) к пределу при . Получим:

.

Свойство 3. Е – измеримое множество, , – измеримые функции на Е. Тогда

.

Доказательство:

Пусть , . Разобьем отрезки [a,b] и [A,B] точками

,

и рассмотрим множества

, , .

Обозначим = . Очевидно:

1) .

Докажем это методом встречных включений.

а) xE ;

b)   xE.

2) попарно не пересекаются.

Следовательно, по свойству 2

.

На множестве имеем: . По свойству 1:

.

Складывая все такие неравенства, получим:

.

Найдем сумму:

.

Но

===.

Следовательно,

==.

Аналогично,

.

Следовательно,

.

Пусть . Переходя в последнем неравенстве к пределу при , получим:

.

Свойство 4. Пусть Е – измеримое множество, измерима на Е, сR, тогда .

Доказательство:

1) Случай - очевидно.

2) Случай .

Пусть . Разобьем отрезок [A,B] точками и рассмотрим множества , определяемые обычным способом. Тогда

.

На имеем: . По свойству 1:

.

Суммируем все такие неравенства:

,

где s, S – суммы Лебега для функции . Переходя в последнем неравенстве к пределу при , получим:

.

3) Случай .

Заметим, что . Так как , то = и .

Теорема 5. Пусть – измеримая и ограниченная функция на измеримом множестве Е. Тогда

.

Доказательство:

Введем в рассмотрение функции:

и

Функции и – измеримые, неотрицательные функции, так как – измерима, при этом

, .

Тогда

,

,

.

9