§1. Определение пространства .

Приведем очень важный в дальнейшем пример евклидова пространства.

Определение 4.1.Функцияf(x) называется кусочно-непрерывной на, если она непрерывна во всех точках интервала, за исключением, быть может конечного числа точектаких, чтои для любогосуществуют односторонние пределы.

Пример 1.1Обозначим черезпространство кусочно-непрерывных нафункций, удовлетворяющих следующим условиям:

1. Любая функция непрерывна на, за исключением, быть может конечного числа точек разрыва первого рода, в которых(3.1)

2. Существуют и(4.1)

Множество является линейным пространством, поскольку, если, тофункциятакже удовлетворяет условиям 1), 2), то есть.

Определим на скалярное произведение по формуле:

. (5.1)

Интеграл Римана в формуле (5.1) существует, поскольку является ограниченной функцией с конечным числом точек разрыва.

Справедливость аксиом скалярного произведения 2), 3), 4) вытекает из линейных свойств интеграла. Проверим выполнение аксиомы 1). Неравенство очевидно. Предположим, что. (6.1)

Так как , то отрезокраспадается на конечное число промежутков точкамитак, что на любом интервале, где, функциянепрерывна. При этом

Из равенства (6.1) вытекает, что

(7.1)

Определим на отрезке новую функцию

Легко видеть, что(8.1)

Это равенство вытекает из следующего свойства интеграла Римана

Теорема 2.1. Если функциииинтегрируемы на отрезкеи совпадают везде на отрезке, за исключением конечного числа точек, то.

Доказательство теоремы 2.1 вытекает из того, что если функция равна 0 везде на отрезке, за исключением конечного числа точек, то.

Задача 1.1.Доказать это утверждение.

Из равенства (8.1) и из непрерывности функции следует, чтона. Поэтомуна. Отсюда и (3.1), получим, чтона.

Таким образом, пространство является евклидовым пространством.

Определение5.1.Линейное пространствоL называется бесконечномерным, есливL найдетсялинейно независимых элементов.

Утверждение3.1.Линейное пространство –бесконечномерно.

Доказательство.

Возьмем любое . Рассмотрим функции

, (9.1)

где .

Если предположить, что функции (9.1) линейно зависимы, тотакие, чтои.

Это равенство означает, что многочлен степени не больше имеет болеекорней. Противоречие. Следовательно, система (9.1) линейно независима. Утверждение доказано.

Отметим, что согласно утверждениям 1.1, 1.2, пространство является нормированным и метрическим с нормойи метрикой. (10.1)

Определение 6.1.Будем говорить, что последовательность функцийсходится в среднем к функции(это будем обозначать так:в среднем, илив среднем), еслипо метрике (10.1), то есть.

Помимо сходимости в среднем в пространстве будут рассмотрены еще два типа сходимости: обычная поточечная и равномерная сходимости.

Для удобства чтения напомним соответствующие определения.

Определение 7.1.Последовательность функцийсходится к функциив точке, если. (При фиксированномэтот предел представляет собой предел числовой последовательности). Последовательность функцийсходится к функциина множествеХ поточечно, еслисходится кв каждой точке множестваХ.

Определение 8.1.Последовательность функцийсходится к функцииравномерно на множествеХ (это обозначается так:), еслии.

Задача 2.1.Доказать, что еслии, тов среднем и поточечно на .

Приведем примеры, показывающие, что из сходимости в среднем не следует поточечной и равномерной сходимости, и что из поточечной сходимости не следует сходимости в среднем, а, следовательно и равномерной.

Все рассмотренные выше определения различных типов сходимостей функциональных последовательностей естественным образом переносятся на функциональные ряды. Пусть естьn-я частичная сумма функционального ряда

(11.1)

Определение 9.1.Говорят, что ряд (11.1) сходится в среднем, либо в точке, либо на множестве Х, если, соответственно, последовательностьn-ых частичных суммсходится в среднем к, либо в точкек, либо поточечно на Х, либо.