§2. Ряд Фурье.

1. Ортонормированные системы в евклидовом пространстве.

Здесь и в дальнейшем будем считать, что Е есть бесконечномерное евклидово пространство.

Определение 1.2.Элементыназываются ортогональными, если.

Определение 2.2.Последовательность элементов из Е

(1.2)

называется ортогональной системой, если .

Если дополнительно , то последовательность (1.2) называется ортонормированной системой.

Определение 3.2.Последовательность элементов линейного пространства

(2.2)

называется линейно независимой, если элементылинейно независимы.

Из определения 5.1 нетрудно вывести, что в любом бесконечномерном линейном пространстве существует линейно независимая последовательность элементов.

Если (2.2) линейно независимая последовательность из Е, то с помощью известного процесса ортогонализации Шмидта из нее получим бесконечную ортонормированную систему (1.2). Таким образом, в любом бесконечномерном евклидовом пространстве надеется бесконечная ортонормированная система.

Заметим также, что из курса линейной алгебры известно, что любая ортонормированная система линейно независима.

2. Ортонормированные системы в k[] и k[a,b].

В качестве основного примера ортонормированной системы рассмотрим в пространстве K[] последовательность

(3.2)

которая называется тригонометрической системой.

Легко доказать следующее

Утверждение 1.2. Тригонометрическая система (3.2) ортонормированна.

Доказательство.

По определению ортонормированной системы, мы должны показать:

1)

2)

1) Напомним, что

()=.

Будем брать два произвольных элемента из тригонометрической системы (3.2) и показывать, что их скалярное произведение равно нулю.

Аналогично проверяются равенства:

(*)

Таким образом, система (3.2) является ортогональной.

3. Докажем, что (3.2) является ортонормированной.

Напомним, что

Будем брать произвольный элемент из системы (3.2) и показывать, что его норма равна единице.

Произвольный элемент может иметь один из трех видов:

или.

Рассмотрим каждый из случаев:

Таким образом, из 1)-2) система (3.2) является ортонормированной. Теорема доказана.

Задача 1.2. Докажите равенства (*) утверждения 1.2.

Докажем вспомогательное утверждение.

Утверждение 2.2. Если функцияТ-периодична и интегрируема на любом отрезке, то

Доказательство.

Сделаем в первом интеграле замену переменнойтак какимеет периодT. Следовательно,

Утверждение доказано.

Замечание 1.2. Из этого утверждения вытекает, что для Т-периодической функцииинтегралы по любому отрезку с длиной, равной периоду Т, совпадают и равны. Отсюда, в частности, следует, что тригонометрическая система (3.2) ортонормированна в пространствеK[a,b], если.

Действительно, все функции системы (3.2) 2-периодичны,. Поэтому

Аналогично доказывается ортогональность других элементов системы (3.2).

Рассмотрим теперь пространство K[-] с произвольным>0. Покажем, что тригонометрическая система(4.2)

ортонормированна в этом пространстве. Найдем, например, т.к. система (3.2) ортонормированна.

Аналогично доказывается ортогональность остальных функций из (4.2). С помощью замены переменной также доказывается, что все функции системы (4.2) нормированы.

Замечание 2.2. Поскольку все функции из системы (4.2) имеют период 2, то из утверждения 2.2 вытекает, что система (4.2) ортонормированна в произвольном пространствеK[a,b], если.