Примеры полных метрических пространств

1. Пространство R полно.

Это следует из критерия Коши сходимости числовой последовательности: последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальная.

2. Пространство R^п  полное пространство.

Это следует из полноты пространства R.

Пусть фундаментальная последовательность точек пространстваR^п, то есть

.

Тогда

.

Здесь . Тогдатем более будут выполняться неравенства

.

Это означает, что последовательности ,, - фундаментальные. Но тогда (из примера 1) они являются сходящимися, то есть существуют пределы:,. Пусть. Очевидно:

1. R^п,

2. (так как сходимость последовательности точек пространстваRⁿпонимается как сходимость по координатам).

Таким образом доказано, что пространство Rⁿполно.

3. Пространство C[a,b] полно.

Сходимость последовательности точек пространства C[a,b]есть равномерная сходимость последовательности непрерывных функций. Пределом такой последовательности является непрерывная функция, то есть элемент пространстваC[a,b],что и требовалось доказать.

4. Пространство т полно.

5. Пространство полно.

§12. Линейные нормированные пространства Пусть   множество, в котором:

1. введена операция, ставящая в соответствие каждой паре элементов элемент из, называемый суммой этих элементов и обозначаемый, причем выполнены следующие аксиомы:

1) (коммутативность сложения);

2) (ассоциативность сложения);

3) существует единственный элемент , называемый нулевым элементом или нулем, такой, что;

4) каждому элементу соответствует единственный противоположный элемент из, обозначаемый, такой, что.

2. введена операция умножения элементов из на число изR (C), удовлетворяющая следующим аксиомам:

5) (ассоциативность умножения);

6) (дистрибутивность умножения);

7) (дистрибутивность умножения);

8) .

Определение 1.Множествос операциями 1 и 2, удовлетворяющими аксиомам 1-8 называетсялинейным пространством над полем R (C).

Определение 2.Линейное пространствонад полемRназываетсянормированным,если каждому элементупоставлено в соответствие действительное число, называемоенормойэлементаи обозначаемое, удовлетворяющее следующимаксиомам нормы:

1. , причем;

2. ;

3. .

Теорема.Всякое нормированное пространство является метрическим с метрикой.

Доказательство:

Пусть нормированное пространство. Докажем, что функциязадает метрику на. Для этого проверим справедливость аксиом 1-3 метрического пространства:

1. ;

.

2. ;

===.

3. ;

=.

На нормированные пространства переносятся многие понятия и их свойства, справедливые для метрических пространств, в частности, имеется понятие сходимости последовательности.

Определение 3. Последовательность, называетсясходящейся к x,если

.

Определение 4.Последовательностьназываетсяфундаментальной,если

Определение 5. Нормированное пространствоназываетсяполным, если любая фундаментальная последовательность его точек сходится к точке этого же пространства. Полное нормированное пространство называетсябанаховым пространством.

Пример.

Пространство - банахово пространство.

1. Определим операции IиIIобычным способом:

,

.

Очевидно выполнение аксиом 1-8 линейного пространства.

Введём норму:

.

Проверим выполнение аксиом нормы.

:

1. ,.

2. .

3.

.

Таким образом, - нормированное пространство.

Далее, так как - полное метрическое пространство, то- полное метрическое пространство, следовательно,- банахово пространство.