Открытые и замкнутые множества

Определение 19.МножествоЕназываетсяоткрытым, если все его точки являются внутренними, то есть если оно не содержит своих граничных точек.

Определение 20.МножествоЕназываетсязамкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, то есть. (Иначе,).

Пример 1. Любоеn-мерный интеграл – открытое множество. Любой отрезок – замкнутое множество.

Следует обратить особое внимание на то что, классы замкнутых и открытых множеств не охватывают вместе всех множеств, кроме того, эти классы пересекаются. Существуют множества, которые не являются ни замкнутыми, ни открытыми, а так же множества, которые одновременно являются и замкнутыми, и открытыми.

Пример 2. Пустое множество следует считать замкнутым, хотя оно в то же время является и открытым. МножествоRдействительных чисел одновременно является и замкнутым, и открытым.

Множество Qрациональных чисел ни замкнуто, ни открыто. Линейный полуинтервал - ни замкнутое, ни открытое множество.

Теорема 3. Любой шарS(a,r)- открытое множество.

Доказательство:

Пусть . Возьмём. Докажем, что шар(это будет означать, что любая точка шара- внутренняя, то есть- открытое множество). Возьмём. Докажем, что, для этого оценим расстояние:

.

Следовательно, , то есть, то естьS(a,r)- открытое множество.

Теорема 4.Производное множество любого множестваEзамкнуто.

Доказательство:

Пусть . Тогдав любой окрестноститочкисуществует хотя бы одна точкамножества, отличная от. Так как- предельная точка множестваE, то в любой её окрестности (в том числе сколь угодно малой, содержащейся в) существует хотя бы одна точкамножестваE, отличная от точки. Таким образом, по определению точкаявляется предельной точкой для множестваE.Итак,, что по определению означает замкнутость множестваE.

Следует заметить, что в частном случае производное множество может оказаться пустым.

Свойства открытых и замкнутых множеств

Теорема 5. Объединение любого конечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.

Доказательство:

Пусть - замкнутые множества. Докажем, что- замкнутое множество.

Пусть - предельная точка множества. Тогда- предельная точка хотя бы одного из множеств(доказывается от противного). Так как- замкнутое множество, то. Но тогда. Итак, любая предельная точка множестваему принадлежит, то естьзамкнуто.

Теорема 6.Пересечение любого числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.

Доказательство:

Пусть - любая совокупность замкнутых множеств. Докажем, что- замкнутое множество.

Пусть - предельная точка множества. Тогда по теореме 1 в любой окрестностисодержится бесконечно много точек из. Но все точки множестваявляются и точками множеств. Следовательно, всодержится бесконечно много точек из. Но все множествазамкнуты, поэтомуи, то естьзамкнуто.

Теорема 7. Если множествоFзамкнуто, то его дополнениеCFоткрыто.

Доказательство:

Пусть . Так какзамкнуто, тоне является его предельной точкой (). Но это означает, что существует окрестностьточки, не содержащая точек множестваF, то есть. Тогдаи поэтому- внутренняя точка множества_.Так как- произвольная точка множестваCF,то все точки этого множества являются внутренними, то естьCFоткрыто.

Теорема 8. Если множествоGоткрыто, то его дополнениеCGзамкнуто.

Доказательство:

Пусть вместе с некоторой окрестностью. Следовательно,не является предельной точкой множестваCG. Итак,не является предельной точкой для, то естьсодержит все свои предельные точки. По определению,замкнуто.

Теорема 9.Объединение любого числа открытых множеств является открытым множеством.

Доказательство:

Пусть - произвольная совокупность открытых множестви. Докажем, что- открытое множество. Имеем:

.

Так как множества открыты, то по теореме 8 множествазамкнуты. Тогда по теореме 6 их пересечениезамкнуто. По теореме 7 множествооткрыто.

Теорема 10.Пересечение любого конечного числа открытых множеств является открытым множеством.

Доказательство:

Пусть - пересечение любого конечного числа открытых множеств. Докажем, что- открытое множество. Имеем:

.

Так как множества открыты, то по теореме 8 множествазамкнуты. Тогда по теореме 5 их объединениезамкнуто. По теореме 7 множествооткрыто.