6.2 Свойства меры Лебега.

Свойство 1: Если Е - измеримо, то - измеримо.

Доказательство.

Е – измеримо, следовательно (по определению) . докажем что - измеримо.

=1-=1- 1-= 1-

Следовательно - измеримо.

Свойство 2: Пусть . Е измеримо тогда и только тогда, когда = (1)

Доказательство.

(необходимость)

Пусть Е измеримо. Докажем (1). Т.к. Е измеримо, то

()-

==

(достаточность)

(1)()- ()-

Е измеримо.

6.3 Свойства множеств, измеримых по Лебегу

Теорема 1. Если множества и измеримы, то измеримы и множества

, ,\.

Доказательство.

Действительно, ина основании следующей теоремы можно представить в виде:

,

.

Откуда

,

где . При этомсостоит из конечного числа интервалов, а внешние меры множеств,(следовательно, и) сколько угодно малы). Отсюда на основании предыдущей теоремы вытекает измеримость. Множествоизмеримо, потому что измеримо дополнительное множествокак сумма двух множеств, дополнительных к измеримым, а значит, измеримых.

Множество измеримо, потому что измеримо его дополнительное множествокак сумма двух измеримых множеств.

Теорема 2. Если множества иизмеримы и не пересекаются, то

.

Доказательство.

Так как по предыдущей теореме , где внешняя мера слагаемыхисколько угодно мала, то меру множестваможно рассматривать как предел меры множества, состоящего из конечного числа интервалов, при стремлениик нулю.

Мера конечного числа интервалов по определению равна сумме их длин минус сумма длин их пересечений:

.

При стремлении к нулюстремится кистремится к, что следует из представленияив виде. Остается доказать, чтопри этом стремится к нулю. Заметив, чтои, имеем:

,

где первое слагаемое правой части пусто по условию, а внешние меры остальных двух при стремлении к нулю стремится к нулю.

Теоремы 9.5 и 10.5 методом математической индукции могут быть распространены на случаи суммы и произведения любого конечного числа измеримых множеств.

Следствие 1. Если иизмеримы и, то

.

Равенство, справедливость которого утверждается, можно переписать так:

,

и тогда оно сводится к доказанному в теореме.

6. Измеримые множества и их свойства

7.1 Определение измеримых множеств.

Определение 1. Множество называется измеримым, если для любого положительного числанайдется открытое множество, содержащееи такое, что внешняя мера разностименьше.

7.2 Основные свойства измеримых множеств.

Докажем ряд утверждений, выясняющих основные свойства измеримых множеств.

Теорема 1. Всякое открытое множество измеримо, причем мера его равна сумме длин составляющих его попарно не пересекающихся интервалов.

Доказательство очевидно (достаточно в определении измеримости взять и заменить, что точная нижняя грань(S) достигается на покрытии S, совпадающем с разбиением на сумму попарно не пересекающихся интервалов).

Теорема 2. Сумма конечного или счетного числа измеримых множеств является измеримым множеством.

Доказательство.

Пусть , причем каждоеизмеримо. Фиксируем произвольное. Для каждого множестванайдется содержащее его открытое множествотакое, что

. (1)

Положив , заметим, что множествосодержится ви что разностьсодержится в сумме. Но тогда из свойства 2’ внешней меры (если множествоG открыто, то его дополнение CG замкнуто) и из неравенства получим

.

Теорема доказана.

Теорема 3. Всякое замкнутое множество измеримо.