1.4 Структура линейных замкнутых множеств из r.

Теорема 13: Для того чтобы F ограниченное было замкнутым необходимо и достаточно, чтобы оно являлось отрезком или получена из этого отрезка удалением из него конечного или счетного множества попарно не пересекающихся интервалов, концы которых не принадлежат F.

Доказательство:

(необходимость)

Пусть F ограниченное замкнутое множество тогда существует наименьший отрезок содержащийF.

Возможны два случая:

1. =F; -отрезок,F - отрезокF ограниченное замкнутое множество.

2. F, т.е. \F ;\F=(дополнение домножестваF)

Возьмем не предельная точка дляF - не внутренняя точка множества. Т.к.- произвольная точка, то- открыто. По теореме о строении ограниченных открытых множеств- является объединением конечного или счетного множества попарно не пересекающихся интервалов, концы которых не принадлежатG (составляющих интервалов), удаляя из них получим замкнутое множество.

(достаточность)

1. Если =F; -отрезок,F - отрезокF замкнутое множество.

2. Пусть F получено из удалением из него конечного или счетного множества попарно не пересекающихся интервалов, концы которых не принадлежатF.

Пусть G – объединение удаляемых интервалов, т.е. . Как мы только что доказалиG- открыто. Пусть ,x не может быть предельной точкой для F т.к. она принадлежит G вместе с некоторой своей окрестностью. Т.е. F содержит все свои предельные точки, т.е. F –ограниченно.

Следствие 4: Для того чтобы F было замкнутым необходимо и достаточно, чтобы оно являлось числовой прямой или получено удалением из R конечного или счетного множества попарно не пересекающихся интервалов, концы которых не принадлежат R.

2. Мера ограниченного открытого множества: определение и свойства.

2.1 Определение меры ограниченного открытого множества.

Определение 1: Мерой интервала (a, b) a<b называется его длина, т.е. число m=m(0,1)=a-b m(a, b)>0.

Всякое открытое множество является объединением конечного или счетного множества попарно не пересекающихся интервалов, концы которых не принадлежат G (составляющих интервалов).

Пусть G – открытое множество. = . Т.к.G – открытое множество, то мера, которогоm=a-b. Очевидно что . Итак интервалыпопарно не пересекаются и содержатся в интервале (a,b).

Рассмотрим два случая:

1. G–конечное объединение интервалов. т.е.G=- положительное число, выражающее собственную сумму мер не пересекающихся интервалов входящих в состав множестваG.

2. Пусть . Рассмотрим ряд- положительный числовой ряд.

(1) - частичная сумма ряда

Последняя частичная сумма возрастающая (т.к. члены ряда все положительные) и ограничена сверху (с.м. случай 1).по определению (1) сходиться и его сумма есть не отрицательное число. ЕслиG открытое ограниченное множество, то сумма мер его составляющих интервалов не отрицательное число, не большее чем b-a.

Определение 2: Мерой ограниченного открытого множества G называется сумма мер его составляющих интервалов. Ясно что .

2.2 Свойства мер открытых ограниченных множеств.

Теорема 1: Если ограничено открытое множество G является объединением конечного или счетного числа попарно не пересекающихся открытых множеств G_k, то .

Доказательство:

. В правой части последнего равенства не более чем счетное число интервалов. Т.к. не пересекаются попарно, то и интервалы в последнем равенстве не пересекаются, следовательно, они являются составляющими интервалами для множестваG, а, следовательно .

Теорема 2: Пусть - ограниченно открытые множества, такие что. Тогда.

Доказательство:

. Возьмем любой составной интервал множества для него обязательно существует такой составной интервал, что;. Проссумируем по к и в итоге получим:.

3. Мера ограниченного замкнутого множества: определение, свойства.

3.1 Определение меры ограниченного замкнутого множества.

Определение 1: Мерой пустого множества называется число 0.

Пусть F ограниченное замкнутое множество. тогда существует наименьший отрезок содержит множествоF. - ограниченное открытое множество. Следовательно, существует мера этого множества. Т.к.

Определение 2: Мерой ограниченного замкнутого множества F называется число, обозначаемое mF, и определяемое по формуле , где- наименьшиё отрезок содержащий множествоF.

3.2 Свойства мер ограниченных замкнутых множеств.

Теорема 1:

Доказательство:

Теорема 2: Пусть (a,b) и (c,d) не пересекающиеся отрезки, тогда мера их объединения равна сумме мер отрезков.

Доказательство:

Теорема 2: Пусть F ограниченное замкнутое множество содержащиеся в интервале (c,d), тогда

CF Доказательство:

Пусть наименьший

c а b d отрезок содержащий множество

F.

F

Тогда по определению

Теорема 3: Пусть - ограниченно замкнутые множества, такие что. Тогда.

Доказательство:

Пусть G – открытое множество т.ч. (это возможно сделать т.к.ограниченно). Рассмотрим множество- открытое множество. Действительно

. (умножим на -1 и прибавимmG)

4. Внешняя мера множества и её свойства.

Пусть E – ограниченное множество. . Возьмём всевозможные открытые множестваG покрывающие множество E. .

Определение 1: Пусть A множество всевозможных множеств покрывающих множество E. Внешней мерой множества E называется число, обозначаемое A(E) – множество всевозможных множеств содержащих множество E.

Выясним основные свойства внешней меры:

Свойство 1: .

Доказательство:

.

Свойство 2: Если , то.

Доказательство:

- множество всевозможных множеств содержащих множество .

- множество всевозможных множеств содержащих множество .

. Если область расширенно, то его область значения может только уменьшиться, т.к. .

Свойство 3: Если множество Е представляет собой сумму конечного

или счетного числа множеств (символически), то

(1)

Доказательство.

Фиксируем произвольное >0. По опре­делению меры как точной нижней грани, для каждого номераk найдется покрытие множествасистемой интервалов(n=1, 2, ...) такое, что:

(2)

Обозначим через S покрытие всего Е, объединяющее все покрытия (k=1, 2, ...) и состоящее из всех интервалов (k = 1, 2,...; n=1, 2, ...)• Так как S является покрытием Е, то m*E, но .

Из последних двух соотношений и из (2) получим:

Будем обозначать расстояние между множествами .

Свойство 4:Если>0 то