Доказательство:

Пусть M=supE и . Докажем чтоM предельной точкой множества E. Возьмём любую окрестность (M,)точкиM.

M-M

Возьмем такого чтоM-, так какM=sup E, то такой что. По определениюM предельная точка множества E. Теорема доказывается аналогично для случая, когда m=infE.

Следствие 1: Если замкнутое множество ограничено сверху (снизу), то оно имеет самую правую (левую) точку.

Доказательство:

Если множество E ограничено, то оно имеет sup E, inf E.

Пусть М=sup E. Рассмотрим два случая:

1. 2.

1. Из теоремы 2 следует, что М – предельная точка множества Е, но Е замкнуто, следовательно , противоречие. Т.е. случай 1 невозможен, т.о. М=sup E , т.е. М – самая правая точка множества Е.

Пусть м=inf Е. Рассмотрим два случая:

1. 2.

1. Из теоремы 2 следует, что m – предельная точка множества Е, но Е замкнуто, следовательно , противоречие. Т.е. случай 1 невозможен, т.о.m=inf E, , т.е. м – самая левая точка множества Е.

Следствие 2: Если Е ограниченное замкнутое множество, то существует наименьший отрезок, содержащий Е, им является отрезок [m, M].

Лемма 1: Множество попарно не пересекающихся интервалов на R или конечно или счетно.

Доказательство:

Пусть - множество попарно не пересекающихся интервалов наR. Q – счетное множество рациональных чисел, представим его в виде бесконечной последовательности . Возьмем, насуществует бесконечно много рациональных чисел. Пустьодно из рациональных чисел, соответствующий интервал обозначим. Для числамы поставим в соответствие, которому он принадлежит. И т.д.

Число интервалов равно числу натуральных чисел. Множество, состоящее из натуральных чиселили конечно или счетно. Таким образом,A или конечно или счетно.

Определение 6: Если  открытое множество, интервал составляющим интервалом множестваG, если ,.

Теорема 11: Если  ограниченное открытое множество, то каждая его точка принадлежит некоторому интервалу его составляющему.

Доказательство:

рассмотрим множество .

1. F- замкнуто. тогда G-открыто, CG-замкнуто, - замкнуто,- замкнуто.

2. F- ограничено снизу следовательно существует M=supF. F- Замкнуто, следовательно М предельная точка множества F, . Рассмотрим промежутоки покажем, что он содержится вG. Предположим что , ночто невозможно т.к.M нижняя грань множества F.

Аналогично строится промежуток . Т.о. любая изG принадлежит некоторому его составляющему интервалу.

Теорема 12: (о строении ограниченных открытых множеств)

Для того чтобы ограниченное множество G было открытым необходимо и достаточно, чтобы оно являлось объединением конечного или счетного множества попарно не пересекающихся интервалов, концы которых не принадлежат G (составляющих интервалов).

Доказательство:

(необходимость)

Пусть G ограниченное открытое множество. Докажем что G объединением конечного или счетного множества попарно не пересекающихся интервалов. По теореме 3 каждая точка из G принадлежит некоторому интервалу его составляющему. Различные составные интервалы не пересекаются, т.к. их концы не принадлежат G. Т.к. G содержится в R, то множество попарно не пересекающихся интервалов или конечно или счетно.

(достаточность)

Пусть G объединением конечного или счетного множества попарно не пересекающихся интервалов, концы которых не принадлежат G. Т.о. G открыто, как объединение конечного или счётного числа отрытых множеств.

Следствие 3: (о строении открытых множеств)

Для того чтобы  было открытым необходимо и достаточно, чтобы оно являлось объединением конечного или счетного множества попарно не пересекающихся интервалов, концы которых не принадлежат G (составляющих интервалов).