1. Открытые и замкнутые множества.

1. Определение открытых и замкнутых множеств.

При множествоназывается шаром с центромрадиусаили также-окрестностью точки.

Определение 1: Множество Е называется открытым, если все его точки являются внутренними, т.е. если оно не содержит своих граничных точек. Исходя из, этого пустое множество следует считать открытым.

Пример 1: Любое n-мерный интеграл – открытое множество.

Определение 2: Множество Е называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, т.е. если . Иначе если множество замкнуто, то оно содержит свою границу, т.е.. Исходя из, этого пустое множество следует считать замкнутым, хотя оно в то же время является и открытым.

Пример 2: Любой отрезок – замкнутое множество.

Следует обратить особое внимание на то что, классы замкнутых и открытых множеств не охватывают вместе всех множеств, кроме того, эти классы пересекаются. Существуют множества, которые не являются ни замкнутыми, ни открытыми, а так же множества, которые одновременно являются и замкнутыми, и открытыми.

Пример 3: Множество R рациональных точек ни замкнуто, ни открыто.

Линейный полусегмент - ни замкнутое, ни открытое множество.

Докажем теперь теоремы характеризующие свойства открытых и замкнутых множеств.

1.2 Основные теоремы об открытых и замкнутых множествах.

Теорема 1: Производное множество любого множества E замкнуто.

Доказательство:

Пусть в любой окрестноститочкиимеются точки множестваотличные от. Пусть. Т.к.предельная точка множестваE, должна быть предельной для E . Т.о.содержит все свои предельные точки, а это значит что оно является замкнутым.

Следует заметить, что в частном случае производное множество может оставаться пустым.

Теорема 2: Если множество F замкнуто, то его дополнение CF открыто.

Доказательство:

Пусть и (в силу замкнутости F) . Но это означает, что некоторая окрестностьV(x) точки x не принадлежит F и поэтому принадлежит CF.

Теорема 3: Если множество G открыто, то его дополнение CG замкнуто.

Доказательство:

любая предельная точка x множества CG принадлежит этому множеству, т.к. в противном случае . А т.к. множествоG открыто, то и некоторая окрестность V(x) точки x не принадлежала бы G и не принадлежала бы CG, т.е. x не являлась бы предельной точкой множества CG.

Теорема 4: Сумма любого числа открытых множеств является открытым множеством.

Доказательство:

Пусть Е - сумма любого числа открытых множеств и. Тогда (по определению суммы множеств)(хотя бы одному) и т.к.- открытое, то и некоторая окрестностьV(x) точки x принадлежит хотя бы одному аи множествуE.

Теорема 5: Пересечение любого конечного числа открытых множеств является открытым множеством.

Доказательство:

Пусть Е - пересечение любого конечного числа открытых множеств . Тогда, и поэтому найдется некоторая окрестность. точкиx принадлежащая . Если

Теорема 6: Пересечение любого числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.

Доказательство:

Пусть Е - пересечение любого числа замкнутых множеств .CE представляет собой сумму всех дополнений , каждое из которых является (по теореме 2) открытым множеством. По теореме 4CE – открытое множество, апо теореме 3E – замкнутое множество.

Теорема 7: Сумма конечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.

Доказательство:

Пусть Е - сумма конечного числа замкнутых множеств тогдакаждое, из которых является (по теореме 2) открытым множеством. По теореме 4CE – открытое множество, апо теореме 3E – замкнутое множество.

Теорема 8: Любой шар S(a,r) - открытое множество.

Доказательство:

Пусть . Рассмотрим.

Пусть , покажем что.Следовательно, любой шарS(a,r) - открытое множество.

1.3 Структура открытых линейных множеств из R.

Определение 1: Множество E из R называется ограниченным с верху (снизу) если существует такая точка Q(P) что для любых точек .

Определение 2: Множество E называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу, т.е. если существует P,Q такие что для любого .

Определение 3: Множество E называется ограниченным, если существует положительное число M, такое что для любого .

Определение 4: Точка называется верхней гранью множестваE, если правее точки M нет точек множества E, и для любого >0 существуетлежащая правее точкиM-.ОбозначаетсяM=sup E= .

Определение 5: Точка называется нижней гранью множестваE и обозначается m=infE=.

Теорема 9: Всякое не пустое ограниченное с верху (снизу) множество имеет верхнюю (нижнюю) грань.

Теорема 10: Если верхняя (нижняя) грань множества E существует, но не принадлежит E, то она является предельной точкой множества E.