РГР по Физике

Подставим числовые значения в (4) и вычислим:

Ответ: T =1,74×104 H .

Задача 5. Тонкий стержень массой 300 г и длиной 50 см вращается с угловой скоростью 10 с-1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найти угловую скорость, если в процессе вращения в той же плоскости стержень переместится так, что ось вращения пройдет через конец стержня.

Дано:

m = 300 г = 0,3 кг; l = 50 см = 0,5 м;

ω1 = 10 с-1.

Найти: ω2 - ?

Решение. Используем закон сохранения момента импульса

Для изолированной системы тел векторная сумма моментов импульса остается постоянной. В данной задаче вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, момент инерции стержня также изменится. В соответствии с (1) запишем

По теореме Штейнера

11

J = J0 + md 2 ,

где J — момент инерции тела относительно произвольной оси вращения; J0 — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; d— расстояние от центра масс до выбранной оси вращения.

Найдем момент инерции относительно оси, проходящей через

конец стержня и перпендикулярно ему:

J2 = Jo + md2; J2 = ml2/12 + m(l/2)2 = m l2/3. (4

Подставляя, формулы (3) и (4) в (2), имеем:

ml 2 ω1 = ml 2 ω2 . 12 3

откуда

ω2 = ω1 1 = 10 = 2,5c−1. 4 4

Ответ: ω2 = 2,5 с-1.

Задача 6. Маховик массой 4 кг вращается с частотой 720 мин-1 вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. Массу маховика можно считать равномерно распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки.

Дано:

ω = 0;

m= 4 кг;

n= 720 мин-1 = 12 с-1;

t = 30 с; R = 0,4 м.

Найти: М = ?; N = ?.

Решение. Для определения тормозящего момента М сил, действующих на тело, нужно применить основное уравнение динамики вращательного движения:

где J — момент инерции маховика относительно оси, проходящей через центр масс; ω — изменение угловой скорости за промежуток времени t.

12

По условию, ω = ωо, где ωо — начальная угловая скорость, так как конечная угловая скорость ω = 0. Выразим начальную угловую скорость через частоту вращения маховика, тогда ωо = 2π·N и

ω = 2π·N .

Момент инерции маховика

J = mR2,

где m — масса маховика; R — его радиус. Формула (1) принимает вид

mR22πN = M t,

откуда

M=2πnmR2/ t.

M = 2 · 3,14· 12 ·4 ·0,16 /30 = 1,61 Н·м.

Угол поворота (т. е. угловой путь ϕ) за время вращения маховика до остановки может быть определен по формуле для равно-

Так как ϕ = 2π·N , ω0 = 2π·N , то число полных оборотов

N = n t/2; N = 12 · 30 /2= 180.

Ответ: М = 1,61 Н · м; N = 180.

Задача 7. Шарик массой m = 100 г упал с высоты h = 2,5 м на горизонтальную плиту и отскочил от нее вследствие упругого удара без потери скорости. Определить среднюю силу <F>, действующую на шарик при ударе, если продолжительность удара t = 0,1 с.

Дано:

m = 100 г = 0,100 кг; h = 2,5 м;

t = 0,1 с.

Найти: <F> = ?

13

Решение: Из второго закона Ньютона следует, что произведение средней силы на время ее действия равно изменению импульса тела, вызванного этой силой, т.е.

Если учесть, что скорость v2 численно равна скорости v1 и противоположна ей по направлению, то формула (2) примет вид

Так как шарик упал с высоты h, то его скорость при ударе

v1 = 2gh.

С учетом этого получим

Ответ: F = -14H . Знак «минус» показывает, что сила на-

правлена противоположно скорости падения шарика.

Задача 8. Маховик в виде сплошного диска массой m = 80 кг и радиусом R = 50 см начал вращаться равноускоренно под действием вращающего момента М = 20 Н×м. Определить: 1) угловое ускорение; 2) кинетическую энергию, приобретенную маховиком за время t =10 с от начала вращения.

Дано:

m = 80 кг;

R = 50 см = 0,50 м;

М = 20 Н×м.

Найти: e = ?,Т = ?

14

Решение:

1. Из основного уравнения динамики вращательного движения M = J×e, где J – момент инерции маховика, e - угловое ускорение, получим

Известно, что момент инерции диска относительно оси, совпадающий с геометрической осью диска, определяется формулой

Вычислим

ε = 2 × 20 = 2 рад/с2.

80× 0,52

2.Кинетическая энергия вращающегося тела выражается фор-

мулой

где w - угловая скорость тела.

При равноускоренном вращении угловая скорость связана с угловым ускорением соотношением

t

где wt – угловая скорость в момент времени t; w0 – начальная угловая скорость.

Так как по условию задачи w0 = 0, то из (5) следует

Подставив в формулу кинетической энергии выражения wt из

(6) и J из (2), получим

Вычислим кинетическую энергию:

15

T = 80 × (0,5 × 2 ×10)2 =2×103 Дж. 4

Ответ: ε = 2 рад/с2, Т = 2000 Дж.

Задача 9. Уравнение колеблющейся точки имеет вид x = 3sin π × t (смещение в сантиметрах, время в секундах). Определить: 1) амплитуду колебания, круговую частоту, период и начальную фазу; 2) смещение точки в момент времени t = 1/6 с; 3) максимальную скорость и максимальное ускорение.

Дано:

x = 3sin π × t см = 0,03sin π × t м; t = 1/6 с;

Найти: А = ?,υмах = ?, амах = ?

Решение: Напишем уравнение гармонического колебательного

ω - круговая частота; t – время колебания; ϕ0 – начальная фаза. Сравнивая заданное уравнение с уравнением (1), выпишем:

А = 0,03 м, ω = π с-1, ϕ0 = 0.

Период колебания определяется из соотношения

ω = 2π ,

T

Подставляя в (2) значение w, получим

T = 2ππ c = 2c.

Для определения смещения подставим в заданное уравнение значение времени:

x = 0,03sin π 1 = 0,03sin 300 = 0,015 м. 6

Скорость колебательного движения найдем, взяв первую производную от смещения колеблющейся точки:

16

v= dx = 3π cosπt. dt

Скорость будет иметь максимальное значение при максимальном значении косинуса, т.е. cos πt =1:

vmax = 0,03π ×1= 9,42 10-2м/с.

Ускорение, по определению есть первая производная от скорости по времени:

a= dv = -3π 2 sinπt. dt

Максимальное значение ускорения amax= - 0,03 π2 м/c2 = -29,6 10-2м/с2.

Ответ: А = 0,03 м, υмах = 9,42 10-2м/с, амах = - 29,6 10-2м/с2.

Знак «минус» показывает, что ускорение направлено в сторону, противоположную смещению.

Задача 10. В сосуде вместимостью V = 5 л находится кислород массой m = 15 г. Определите: 1)концентрацию n молекул кислорода в сосуде;

2) число N молекул газа в сосуде.

Дано:

V= 5 л =5·10 -3 м3; m= 15 г = 0,015 кг.

Найти: n = ? N = ?

Решение: Записав уравнение Клапейрона-Менделеева

и поделив (1) на (2), найдем искомую концентрацию молекул кислорода в сосуде

17

N n = ,

V

откуда искомое число молекул газа в сосуде

N = nV.

Ответ: 1) n = 5,64·1025 м3; 2) N = 2,82·1022.

Задача 11. В баллоне содержится смесь азота количеством вещества ν1= 5 моль и водорода количеством вещества ν2 = 10 моль при температуре t = 70С и давлении Рсм = 2,5 МПа. Определить плотность смеси.

Дано:

ν1=5 моль;

ν2=10 моль;

t = 70С; Т=273+7 = 280 К; Рсм= 2,5 МПа = 2,5·10 6 Па.

Найти: ρсм = ?

Решение: На основании определения плотности как физической величины для данного случая имеем

Р

Подставив выражения для массы азота m1 и водорода m2 и объема V в формулу плотности смеси газов (1), получим:

18

Ответ: ρсм=11,5 кг/м3.

Задача 12. Некоторый газ массой m = 1г и первоначальным удельным объемом υ1 = 0,831 м3/кг, находящийся при температуре Т = 280 К и под давлением Р1 = 0,1 МПа, сжимают изотермически до давления Р2 = 1 МПа. Определите: 1) какой это газ; 2) работу А, затраченную на сжатие газа.

Дано:

m = 1 г = 1 10 -3 кг;

υ1 = 0,831 м3/кг; Т = 280 К;

Р1 = 0,1 МПа = 0,1· 10 6 Па;

Р2 = 1 МПа = 1· 10 6 Па.

Найти: М =?, А=?

Решение: Первоначальный удельный объем газа

где V1 – объем газа в начальном состоянии определим из уравнения Клапейрона-Менделеева

Подставив уравнение (2) в формулу (1), найдем искомую молярную массу газа

M = RT .

Р1υ1

Работа, затраченная на сжатие газа,

19

m

(воспользовались уравнением Клапейрона-Менделеева pV = RT ).

M

Так как процесс изотермический, используем закон Бойля-Мариотта: p1V1=p2V2,

Задача 13. Определить внутреннюю энергию водяного пара массой m = 180 г, принимая его за идеальный газ при температуре t = - 73° С, а также кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы пара при той же температуре.

Дано:

m = 180 г = 0,180 кг;

t = -73° С; Т=273-73 = 200 К; i = 6;

m = 18×10- 3 кг/моль;

R = 8,31 Дж/(моль×К).

Найти: U = ?; e - ?

Решение:

1. Внутренняя энергия идеального газа есть полная кинетическая энергия всех молекул газа и выражается формулой

где i - число степеней свободы молекулы газа; m - молярная масса; R - универсальная (молярная) газовая постоянная; Т - абсолютная температура газа.

Подставим числовые данные в формулу (1) и вычислим

20