(Следовательно, первая теорема двойственности выполняется).

2. Решим геометрически интерпретацией в пространстве условий прямую задачу, записанную как сопряженную к исходной двойственной задаче задания срс-3 .

1. Запишем сопряженную задачу к исходной задаче линейного программирования размерностью [3;2], имеющей следующий вид:

Двойственная задача (см. СРС №3)	Прямая (исходная) задача в канонической форме
L(Y) =y1+y2=>min	Z(X) = 1991x1 + 1292x2 + 1194x3=>max
при условиях:	при условиях:
4y1+ 6y2≥ 1991	4x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 1
6y1+ 2y2≥ 1292	6x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 1
2y1 + 4y2 ≥ 1194
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0

2. Решим полученную прямую задачу геометрически, используя интерпретацию в пространстве условий.

U₁ = 4x₁ + 6x₂ + 2x₃ = 1

U₂ = 6x₁ + 2x₂ + 4x₃ = 1

U₃ = 1991x₁ + 1292x₂ + 1194x₃

Для отыскания решения необходимо построить сечение плоскостью, проходящее через уравнение правой части. Сечение представляет собой выпуклый многоугольник.

1. Проекция сечения конуса плоскостью . Строим секущую плоскость, которая проходит через b₁ и параллельная плоскости U₂OU₃. Для построения данной проекции необходимо найти точки встречи лучей конуса с секущей плоскостью.

	Значения хj из уравненияU1	Значение	Значение
= (4, 6, 1991)		1,5	497,75
= (6, 2, 1292)		0,33	215,333333
= (2, 4, 1194)		2	597

2. Проекция сечения конуса плоскостью . Строим секущую плоскость, которая проходит через b₂ и параллельная плоскости U₁OU₃. Для построения данной проекции необходимо найти точки встречи лучей конуса с секущей плоскостью.

	Значения хj из уравненияU2	Значение	Значение
= (4, 6, 1991)		0,666667	331,8333
= (6, 2, 1292)		3	646
= (2, 4, 1194)		0,5	298,5

Сравнивая полученные результаты, можно сделать вывод о том, что и в проекции U₁ = b₁, и в проекцииU₂ = b₂целевая функцияU₃ принимает одно и тоже значение, которое соответствует варианту:

• при минимизации целевой функции 368;

• при максимизации целевой функции 376,71≈377.

В данной задаче мы должны рассмотреть целевую функцию при ее максимизации, следовательно, найдем значения базисных переменных оптимального плана:

4х₁ + 6x₂= 1 =>x₁= 0,143

6х₁ + 2x₂= 1x­₂= 0,07143

X* = (0,143; 0,07143)

Следовательно, целевая функция при максимизации, будет равна:

Z(X*) = 0,143*1991 + 0,07143*1292 = 376,71

3. Для того, чтобы убедиться в правильности выполненных действий в пп. 2.1 – 2.2., проведем проверку на выполнение утверждения первой теоремы двойственности.

Первая теорема двойственности говорит о том, что на оптимальных планах прямой и двойственной задач значения целевых функций совпадают:

Z(X*) = L(Y*)

Таким образом, из СРС №3 мы получаем, что для двойственной сопряженной задачи (см. п. 2.1.), которая минимизируется при определенных условиях, оптимальный опорный план имеет следующий вид Y* (134,64; 242,07), следовательно, целевая функция на оптимальном опорном плане принимает значениеL(Y*) = 134,64 + 242,07 ≈ 376,71.

А из п. 2.2. мы получаем, что для прямой задачи (см. п. 2.2.), которая максимизируется при определенных условиях, оптимальный опорный план имеет следующий вид Х* (0,143; 0,07143), следовательно, целевая функция на оптимальном опорном плане принимает значениеZ(X*) = 0,143*1991 + 0,07143*1292 = 376,71.

Z(X*) = L(Y*) = 376,71