4

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ АВТОМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

Кафедра оптимизации систем управления

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 6

Проверка справедливости первой теоремы двойственности

Выполнила

Студентка О.В.Морланг

IV курс, группа 8512

« 28 » ноября 2004 г.

Проверил

В.Г.Ротарь

«__» _______ 200 __ г.

Томск, 2004

6.1. Геометрически решить интерпретацией в пространстве переменных сформированную двойственную задачу, записанную по отношению к исходной (прямой) задаче задания СРС-4 для чего:

6.1.1. Записать сопряженную двойственную задачу по отношению к исходной прямой задаче линейного программирования размерностью [2;4], имеющей следующий вид:

Z(X)=С₁x₁+ С₂x₂+ С₃x₃+ С₄x₄ + С₅x₅  max

при условиях

a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃+a₁₄x₄+a₁₅x₅b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃+a₂₄x₄+a₂₅x₅b₂

___

x_j0, j=1,5

Численные значения параметров (С_j, a_ij, b_j) взять из задания СРС-4.

Данные из самостоятельной работы № 4 выглядят следующим образом:

Ограничения:

6*Х₁ + 4*Х₂ + 6*Х₃ + 2*Х₄ + 13*Х₅ = 1605;

6*Х₁ + 5*Х₂ + 10*Х₃ + 8*Х₄ + 2*Х₅ = 1302;

Целевая функция:

Z(x) = X₁ + X₂ + X₃ + X₄ + X₅  min

Значения решения СРС №4:

Z(x)max = 290,7

Z(x)min = 185,5

Из этих данных формируем данные для задачи двойственной исходной:

L(y) = 1605y₁ + 1302y₂  min

U1 = 6*y₁ + 6*y₂ ≤1;

U2 = 4*y₁ + 5*y₂ ≤1;

U3 = 6*y₁ + 10*y₂ ≤1;

U4 = 2*y₁ + 8*y₂ ≤1;

U5 = 13*y₁ + 2*y₂ ≤1;

y_(j) ≥0; (j = 1,2);

6.1.2. Решить полученную двойственную задачу геометрически интерпретацией в пространстве переменных.

При анализе графика 1 мы видим, что минимальное значение целевой функции находится из координат точки пересечения условий U3 и U5.

U3 = 6*y₁ + 10*y₂ ≤1;

U5 = 13*y₁ + 2*y₂ ≤1;

Решением данной системы являются значения y₁=0,0683 и у₂=0,059

График 1. Пространство условий

L(y) = 1605y₁ + 1302y₂  min

L(y) = 1605* 0,0683 + 1302*0,059 = 185,5.

Полученное значение минимума целевой функции совпадает со значением, полученным в самостоятельной работе студента № 4.

6.1.3. Убедиться в правильности выполненных действий в пп. 6.1.1 - 6.1.2. проверкой выполнения утверждения первой теоремы двойственности.

Теорема двойственности гласит от том, что если прямая и двойственная задачи линейного программирования имеют оптимальные решения, то экстремальные значения их целевых функций равны.

В нашем случае равны минимальные значения целевых функций прямой и двойственной задачи, следовательно, выполненные нами действия правильны.

* * *

6.2. Геометрически решить интерпретацией в пространстве условий прямую задачу, записанную как сопряженную к исходной двойственной задаче задания СРС-3 .

6.2.1. Записать сопряженную задачу к исходной задаче линейного программирования размерностью [3;2], имеющей следующий вид:

L(Y)=b1y1+b2y2  min

при условиях

a11y1+ a12y2С1;

a21y1+ a22y2С2;

a31y1+ a32y2С3

y1 0, y20

Здесь принять b1=1, b2=1, C1=NA, C2=NB, C3=NC. Численные значения для параметров задачи (Сj, aij, bj) взять совпадающими с аналогичными параметрами задачи задания СРС-3 (раскрой материалов), ДЛЯ ЧЕГО ВОСПОЛЬЗУЙТЕСЬ записью и решением задачи пункта 3.3.

Данные из самостоятельной работы № 3 выглядят следующим образом:

Целевая функция:

Z(x) = Х₃ + Х₅ => min

Ограничения:

А: g₁(X) = 6*Х₃ + 2*Х₅ ≥ 1605;

В: g₂(X) = 10*Х₃ + 5*Х₅ ≥ 1300;

С: g₃(X) = 10*Х₃ + 8*Х₅ ≥ 1302;

где X₃ ≥ 0; Х₅ ≥ 0;

Из этих данных формируем данные для задачи двойственной исходной:

Целевая функция:

Z(x) = 1605*x₁ + 1300*x₂ + 1302*x₃ => max

Ограничения:

U₁ = 6*x₁ + 10*x₂ + 10*x₃ ≥ 1

U₂ = 2*x₁ + 4*x₂ + 8*x₃ ≥ 1

где х₁ ≥ 0; х₂ ≥ 0;

6.2.2. Решить полученную прямую задачу геометрически, используя интерпретацию в пространстве условий.

Для того, чтобы решить полученную задачу геометрически, построим сечение конуса плоскостью U1 = b1 = 1

• Точки встречи луча с секущей плоскостью U₁:

0,33; 0,4; 0,8.

• Точки встречи луча с секущей плоскостью U₃

267,5;130; 130,2.

Даже без построения графика видно, что пересечения конуса плоскостью U1 = 1 не будет.

Попробуем построить сечение конуса плоскостью U2 = b2 = 1.

• Точки встречи луча с секущей плоскостью U₁:

3; 2,5; 1,25.

• Точки встречи луча с секущей плоскостью U₃

802,5;325; 162,75.

С сечением U2 наблюдается такая же ситуация.

6.2.3. Убедиться в правильности выполненных действий в пп. 6.2.1 - 6.2.2. проверкой выполнения утверждения первой теоремы двойственности.

Согласно данным п.6.2.2. опорный план, полученный в СРС №3 – не оптимален.