ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра ОСУ

Самостоятельная работа студента №6

Проверка справедливости первой теоремы двойственности

Выполнила: студентка группы 8512

Солнцева Светлана Сергеевна

Проверил: Ротарь В.Г.

ТОМСК

2004

ЗАДАНИЕ

Решить геометрически сопряженную задачу пары (прямая – двойственная) на основе теории двойственности для индивидуального задания (СРС №6):

1. Геометрически решить интерпретацией в пространстве переменных сформированную двойственную задачу, записанную по отношению к исходной (прямой) задаче задания СРС-4 для чего:

1. Записать сопряженную двойственную задачу по отношению к исходной прямой задаче линейного программирования размерностью [2;5], имеющей следующий вид:

Z(X) = С₁x₁+ С₂x₂+ С₃x₃+ С₄x₄ + С₅x₅ max

при условиях

a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃+a₁₄x₄+a₁₅x₅b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃+a₂₄x₄+a₂₅x₅b₂

Численные значения параметров (С_j, a_ij, b_j) взять из задания СРС №4.

1. Решить полученную двойственную задачу геометрически интерпретацией в пространстве переменных.

2. Убедиться в правильности выполненных действий в пп. 1.1 – 1.2. проверкой выполнения утверждения первой теоремы двойственности.

1. Геометрически решить интерпретацией в пространстве условий прямую задачу, записанную как сопряженную к исходной двойственной задаче задания СРС-3 .

   1. Записать сопряженную задачу к исходной задаче линейного программирования размерностью [3;2], имеющей следующий вид:

L(Y) =b₁y₁ +b₂y₂ min

при условиях

a₁₁y₁ + a₁₂y₂  С₁;

a₂₁y₁ + a₂₂y₂  С₂;

a₃₁y₁ + a₃₂y₂ С₃

y₁ 0, y₂ 0

Здесь принять b₁=1, b₂=1, C₁=N_A, C₂=N_B, C₃=N_C. Численные значения для параметров задачи (С_j, a_ij, b_j­) взять совпадающими с аналогичными параметрами задачи задания СРС №3 (раскрой материалов), ДЛЯ ЧЕГО ВОСПОЛЬЗУЙТЕСЬ записью и решением задачи пункта 3.3.

2. Решить полученную прямую задачу геометрически, используя интерпретацию в пространстве условий.

3. Убедиться в правильности выполненных действий в пп. 2.1 – 2.2. проверкой выполнения утверждения первой теоремы двойственности.

ХОД РАБОТЫ.

1. Решим геометрически интерпретацией в пространстве переменных сформированную двойственную задачу, записанную по отношению к исходной (прямой) задаче задания СРС №4 для чего:

1. Запишем сопряженную двойственную задачу по отношению к исходной прямой задаче линейного программирования размерностью [2;5]:

Прямая исходная задача из СРС №4	Каноническая форма прямой исходной задачи
Z(X) =x1 + х2 +x3 + х4 +x5 =>min	Z(X) = -x1 - х2 -x3 - х4 -x5 =>max
при условиях:	при условиях:
4x1 + 2х2 + 6x3 + 6х4 + 3x5 ≥ 1991	-4x1 -2х2 -6x3 -6х4 -3x5 ≤-1991
6x1 + 4х2 + 2x3 + 3х4 + 6x5 ≥ 1292	-6x1 -4х2 -2x3 -3х4 -6x5 ≤-1292

Прямая (исходная) задача в канонической форме	Двойственная задача
Z(X) = -x1 - х2 -x3 - х4 -x5 =>max	L(Y) = -1991y1 - 1292y2 => min
при условиях:	при условиях:
-4x1 -2х2 -6x3 -6х4 -3x5 ≤-1991	-4y1 - 6y2 ≥ -1
-6x1 -4х2 -2x3 -3х4 -6x5 ≤-1292	-2y1 - 4y2 ≥ -1
	-6y1 - 2y2 ≥ -1
	-6y1 - 3y2 ≥ -1
	-3y1 - 6y2 ≥ -1
	y1 ≥ 0, y2 ≥ 0

2. Решим полученную двойственную задачу геометрически интерпретацией в пространстве переменных.

Для удобства решения умножим двойственную задачу на (-1):

L(Y) = 1991y₁ + 1292y₂ => max

при условиях:

4y₁+ 6y₂≤ 1

2y₁+ 4y₂≤ 1

6y₁+ 2y₂≤ 1

6y₁+ 3y₂≤ 1

3y₁+ 6y₂≤ 1

y₁≥ 0,y₂≥ 0

Z(X)

Область допустимых решений (ABCD) – замкнутый ограниченный выпуклый четырехугольник. Вершины этого четырехугольника представляют собой точки с координатами:

1. Точка А (0; 0) – начало координат.

2. Точка В (0; 0,16667) лежит на пересечении ограничения (1) или (5) и координатной оси у₂.

3. Точка С (0,125; 0,0833) лежит на пересечении ограничения (1) и ограничения (4).

4. Точка D(0,16667; 0) лежит на пересечении ограничения (3) или (4) и координатной оси у₁.

Для нахождения точки С решим систему уравнений (1) и (4):

4у₁ + 6у₂ = 1

6у₁+ 3у₂= 1

– 12 у₂= -1 =>

у₂ = 1/12 = 0,0833

Подставим координаты точек в целевую функцию:

1. точка А: L(Y) = 0*1991 + 0*1292 = 0

2. точка В: L(Y) = 0*1991 + 0,16667*1292≈ 215,33

3. точка С: L(Y) = 0,125*1991 + 0,0833*1292≈ 356,54

4. точка D: L(Y) = 0,16667*1991+ 0*1292≈ 331,8333

При условии максимизации целевой функции область допустимых решений имеет с ней единственную общую точку с координатами:

Y* = (0,125; 0,0833)

Для данных координат целевая функция принимает значение:

L(Y*)_max = 0,125*1991 + 0,0833*1292 ≈ 356,54

3. Для того, чтобы убедиться в правильности выполненных действий в пп. 1.1 – 1.2., проведем проверку на выполнение утверждения первой теоремы двойственности.

Первая теорема двойственности говорит о том, что на оптимальных планах прямой и двойственной задач значения целевых функций совпадают:

Z(X*) = L(Y*)

Таким образом, из СРС №4 мы получаем, что для исходной прямой задачи (см. п. 1.1.), которая минимизируется при определенных условиях, оптимальный опорный план имеет следующий вид X* (74,12; 282,42), следовательно, целевая функция на оптимальном опорном плане принимает значениеZ(X*) = 356,54.

А из п. 1.2. мы получаем, что для двойственной задачи (см. п. 1.2.), которая максимизируется при определенных условиях, оптимальный опорный план имеет следующий вид Y* (0,125; 0,0833), следовательно, целевая функция на оптимальном опорном плане принимает значениеL(Y*) = 356,54.

Z(X*) = L(Y*) = 356,54