Интеграл расходится, т. К. Предел не существует. Пусть теперь функция непрерывна на интервалеи. Если существует конечный предел, то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают

Таким образом, по определению

Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится.

Если же указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично, если функция терпит разрыв в точке, то полагают

Если же функция терпит разрыв во внутренней точке отрезка , то несобственный интеграл определяется формулой

В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.

Пример 30. Вычислить, если он сходится, несобственный интеграл

Функция определена на , и то есть мы имеем дело с несобственным интегралом от функции с бесконечным разрывом. Таким образом,

то есть, расходится.

Важную роль в решении вопроса о сходимости (расходимости) несобственного интеграла играет теорема сравнения:

Если функции и определены на интервалеи для некоторогосправедливо неравенството из сходимости интеграла(из расходимости следует сходимость интеграла (расходимость).

Аналогичные утверждения справедливы и для других несобственных интегралов.

Пример 31. Вычислить, сходится или не сходится интеграл

Здесь ; для всех, справедливо неравенствоасходится, таким образом, по теореме сравнения, будет сходиться интеграл

Некоторые приложения определенного интеграла

1. Вычисление площади плоской фигуры

Известно, что площадь криволинейной трапеции (рис. 2) вычисляется по формуле

(8)

Отметим, что если криволинейная трапеция расположена ниже оси 0х, , то площадь может быть найдена по формуле

(9)

Формулы (8) и (9) можно объединить в одну

Площадь фигуры, ограниченной кривыми

и , прямымиможно найти по формуле

(10)

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то её следует разбить на части по прямым, параллельным оси ; чтобы можно было применить известные формулы.

Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданнойпараметрически

, прямыми и осью, то площадь находится по формуле

(11)

Если уравнение линии задано в полярных координатах (см. рис. 4), то площадь криволинейного сектора определяется по формуле

(12)

Примеры 32.

1. Вычислить площадь S фигуры, ограниченной кривыми и(см. рис. 5).

Находим точки пересечения кривых: ,и, значит,.

Следовательно

Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Сначала найдем площадь части эллипса (см. рис. 6).

Здесь х изменяется от 0 до , следовательно,изменяется отдо 0.

Находим, что

Таким образом,

.

2. Вычислить площадь S фигуры, ограниченной «трехлепестковой розой»:

Найдем вначале площадь половины одного лепестка «розы» (см. рис. 7).

Следовательно,

2. Длина дуги кривой

Длина L дуги АВ кривой, заданной уравнением , где точкаА соответствует значению , точкаВ соответствует значению (см. рис. 8) находится по формуле:

(13)

Длина дуги АВ кривой L, заданной параметрическими уравнениями

находится по формуле

Если плоская линия задана уравнением в полярных координатах, то

Примеры 33.

1. Найти длину окружности

2. (см. рис. 9).

Вычислим длину окружности.

Вначале найдем L/4.

Длина окружности

3. Вычислить длину дуги винтовой линии между точками

Поскольку , то

Найти длину кардиоиды

Кардиоида имеет вид (см. рис. 10). Она симметрична относительно полярной оси

.

Найдем половину длины кардиоиды L/2:

Длина кардиоиды

Замечание. на отрезке.