FNP

Для функции одной переменной (23.4) воспользуемся формулой Тейлора с

Следуя этой формуле, вычислим требуемые производные. По правилу дифференцирования сложной функции имеем

Положив здесь t = 1, с уч¨етом (23.4) и (23.5) приходим к формуле Тейлора (23.1):

Первое слагаемое формулы Тейлора (23.1) называется полиномом Тейлора, а второе — остаточным членом в форме Лагранжа, а саму формулу (23.1) называют формулой Тейлора c остаточным членом в форме Лагранжа.

♦ Формулу Тейлора (23.1) можно записать в эквивалентной форме. Так, выделив из суммы слагаемых слагаемое с k = 0 и положив x = x − x0, получим

Рассматривая функцию

ϕ(t) = f(x(t), y(t))

как сложную, найд¨ем е¨ производные:

Подставив полученные выражения в (23.13) и положив t = 1, которое соответствует P (x, y), с уч¨етом (23.12) получим

что и требовалось доказать.

Теорема 23.3. Если для функции w = f(x) выполняются условия теоремы 23.1, то для не¨ справедливо представление

m

f(x) = f(x0) + k1!dkf(x0) + o(ρm+1(x, x0)) (23.14)

k=1

при ρ(x, x0) → 0, где ρ(x, x0) = |x − x0| = | x| = (Δx1)2 + ... + (Δxn)2. Соотношение (23.14) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме

Пеано.

Доказательство. Рассмотрим остаточный член в формуле (23.9):

Так как по условию теоремы все производные порядка (m + 1) функции w = f(x) непрерывны в точке x0, то

Решение. Так как все дифференциалы выше третьего порядка равны нулю, т.е. dmw ≡ 0 при m > 3, то разложение по формуле Тейлора в точке P0 для функции w имеет вид

w(x, y, z) = w(P0) + 3 dkw(P0). (23.20)

k=1

k!

Вычислим теперь dkw:

dw = (z2 − 5yz)dx + (2y − 5xz)dy + (3z2 − 5xy + 2xz)dz;

d2w = 2dy2 + (6z + 2x)dz2 − 10z dx dy + 2(2z − 5y)dx dz − 10x dy dz; d3w = 6dz3 + 4dx dz2 − 30dx dy dz, d4w = 0, d5w = 0, ...

Таким образом, из (23.20) окончательно получим

w(x, y, z) = 4 + 4(x + 1) + 10y + 8(z − 2)+

+12[2y2 + 10(z − 2)2 − 10(x + 1)y + 8(x + 1)(z − 2) + 10y(z − 2)]+

+16[6(z − 2)3 + 4(x + 1)(z − 2)2 − 30(x + 1)(z − 2)].

Пример 23.3. Функцию

z = ln(5x + 2y − 3)

разложить по формуле Тейлора в точке P0(2, 1) до слагаемых 3-го порядка включительно и оценить значение остаточного члена в прямоугольнике |x − 2| 0,5,

|y − 1| 0,3.

Решение. Найд¨ем сначала первые четыре дифференциала (четвертый нужен для оценки остаточного члена):

Затем вычислим значение функции и первые три дифференциала в точке P0(2, 1):

d3z = 7292 [5(x − 2) + 2(y − 1)]3.

Подстановка этих значений в (23.11) да¨ет

ln(5x + 2y − 3) = ln 9 + 19[5(x − 2) + 2(y − 1)] − 1621 [5(x − 2) + 2(y − 1)]2+

а (x1, y1) — координаты некоторой точки P1, лежащей на отрезке (P0, P ), где

P (x, y).

Оценим остаточный член r3(x, y) в прямоугольнике |x − 2| 0,5, |y − 1| 0,3. Воспользуемся неравенствами

|x − 2| 0,5, 1,5 x 2,5; |y − 1| 0,3, 0,7 y 1,3.

Следовательно, отбросив в (23.21) остаточный член, получим приближ¨енную формулу для вычисления ln(5x + 2y − 3), погрешность которой в прямоугольнике |x − 2| 0,5, |y − 1| 0,3 не превышает 0,02.

Пример 23.4. Вывести приближ¨енную формулу с точностью до слагаемых 4-го

порядка для функции

z = 1 − x2 − y2.

Решение. 1-ый способ. Исходную функцию можно рассматривать как сложную:

√

z = 1 − t, где t = x2 + y2. Воспользуемся формулой Тейлора для функции одной переменной при t = 0 с остаточным членом в форме Пеано:

√1 − t = 1 − 12t − 18t2 + o(t2).

Подставив в последнее равенство t = x2 + y2, получим формулу Тейлора для исходной функции с остаточным членом в форме Пеано:

Это означает, что разложение (23.22) действительно представляет разложение до слагаемых 4-го порядка включительно.

2-ой способ. Найд¨ем дифференциалы функции z до 4-го порядка включитель-

но:

dz = 12(1 − x2 − y2)−1/2(−2x dx − 2y dy);

d2z = −14(1 − x2 − y2)−3/2(−2x dx − 2y dy)2 + 12(1 − x2 − y2)−1/2(−2dx2 − 2dy2);

z(0, 0) = 1, dz(0, 0) = 0, d2z(0, 0) = −(x2+y2), d3z(0, 0) = 0, d4z = −3(x2+y2).

совпадающее с формулой (23.22), полученной первым способом. Отметим, что без использования сложной функции количество выкладок и их трудо¨емкость существенно возрастают.

Пример 23.5. Записать приближ¨енную формулу для выражения cos x/ cos y с точностью до членов 2-го порядка.

ГЛАВА 4

Экстремумы функции нескольких переменных

24. Определение и необходимое условие существования экстремума

Рассмотрим функцию w = f(x), определ¨енную в области D Rn.

Точка x0 D называется точкой строгого локального минимума (максимума) функции w = f(x), если найд¨ется такой шар S(x 0, δ) D, что для всех

Точки максимума и минимума функции w = f(x) называются точками экстремума.

чек экстремума дана на рис. 19. Так, на рис. 19,a точка P0 поверхности, описываемой уравнением z = f(x, y), является точкой максимума (строгого максимума), а на рис. 19,б точкой минимума (строгого минимума).

Рис. 19.

Следующие примеры иллюстрируют характер точек экстремума функции нескольких переменных.

Пример 24.1. Показать, что точка O(0, 0) является точкой

3)минимума функции z = x2;

4)не является точкой экстремума функции z = x2 − y2.

Решение. 1) Поскольку в точке O(0, 0) функция z(0, 0) = 0, то для любой точки

z(P ) = x2 + y2 > 0 = z(0, 0), означающее, что точка O(0, 0) — точка строгого минимума, т.е. эта точка располагается ниже всех точек поверхности кругового параболоида z = x2 + y2 (рис. 20,a).

2) Поскольку в точке O(0, 0) функция z(0, 0) = 0, то для любой точки P (x, y),

симума, т.е. эта точка располагается выше всех точек поверхности конуса z =

Это означает, что

z(P ) z(0, 0) P S(0, 0, δ),

и, следовательно, точка O(0, 0) является точкой минимума. Она лежит на образующей цилиндра, точки которой расположены ниже всех точек цилиндрической поверхности z = x2 (рис. 20,в).

Рис. 20.

4) В точке O(0, 0) функция имеет значение z(0, 0) = 0. Рассмотрим круг

S(0, 0, δ). В этом круге в точках P1(x, y), где 0 < x2 < δ2, z(P1) = x2 > 0 = z(0, 0), а в точках P2(0, y), где 0 < y2 < δ, z(P2) = −y2 < 0 = z(0, 0). Таким образом,

Это означает, что точка O(0, 0) не является точкой минимума. На поверхности гиперболического параболоида z = x2 − y2 существуют точки, расположенные как выше, так и ниже точки O(0, 0) (рис. 20,г).

В привед¨енном примере точки максимума и минимума находятся достаточно просто. В более сложных случаях нужны специальные методы отыскания точек экстремума.

Теорема 24.1 (необходимое условие существования экстремума дифференцируемой функции). В точке экстремума дифференцируемой функции все

е¨ первые частные производные равны нулю.

Доказательство. Пусть функция w = f(x) дифференцируема в точке x0, являющейся, например, точкой максимума. Тогда, согласно определению, существует такой шар S(x0, δ), что для всех его точек выполняется неравенство