FNP

Решение. Поскольку для функции z1(x, y)

Аналогично

lim (x2 + y2)x2y2 = 1.

y→0 (x=0)

Следовательно, повторные пределы равны единице:

Напомним, что в примере 4.4 были вычислены двойные пределы этих функций, совпадающие с найденными повторными пределами в полном соответствии с теоремой 6.1.

Пример 6.4. Найти повторные пределы функций в указанных точках:

1xy

3)z3(x, y) = xy tg 1 + xy , x0 = 0, y0 = ∞.

Решение. 1. Так как при x > 0, x + y > 0, x = 1

Функция w = f(x), определ¨енная в окрестности точки x0, т.е. O(x0) D(f), называется непрерывной в точке x0, если

♦ Определение (7.5) требует выполнения тр¨ех условий: во-первых, функция должна быть определена в точке x0; во-вторых, должен существовать предел

lim f(x)

x→x0

и, в-третьих, этот предел должен быть равен значению функции в точке x0. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, точка x0 называется точкой разрыва функции w = f(x).

Условие (7.5) после тождественного преобразования

выражающей тот факт, что для непрерывной в точке x0 функции бесконечно малому приращению аргументов x = x−x0 → 0 соответствует бесконечно малое

полное приращение функции w = f(x0 + x) − f(x0) → 0.

Еще одна эквивалентная форма условия (7.5), полезная в приложениях, имеет

вид

Пример 7.1. Используя определения предела функции w = f(x) в точке x0 по Гейне и по Коши, записать эквивалентное (7.5) определение функции, непрерывной в точке.

Решение. Функция w = f(x) называется непрерывной в точке x0 D(f), если выполняется любое из эквивалентных условий:

Если в соотношении (7.5) предел заменить пределом по множеству X, то такая замена приводит к понятию функции, непрерывной в точке x0 по множеству X.

Функция w = f(x), определ¨енная на множестве X D(f) Rn, для кото-

x X

♦Если x0 является изолированной точкой множества X, то функция w = f(x)

считается непрерывной в точке x0 по множеству X.

♦Если функция w = f(x) разрывна в точке x0 по некоторому множеству, то точка x0 является точкой разрыва этой функции по этому множеству. Но может существовать другое множество, по которому функция в точке x0 будет непрерывной.

Введ¨ем ещ¨ одну характеристику непрерывной функции.

Функция w = f(x) называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке множества X по этому множеству, т.е. если в каждой предельной точке x0 множества X выполняется условие

Выбрав соответствующее множество X, по которому функция w = f(x) непрерывна в его предельной точке x0, можно выделить функции, непрерывные в точке

по прямой L, когда X = L; по кривой L, когда X = L и т.д.

В свою очередь, выбрав прямую L параллельной одной из координатных осей,

Аналогично, выбрав множество X, на котором функция w = f(x) является непрерывной, получим функции, непрерывные вдоль (или на) прямой, кривой и т.д. При этом следует иметь в виду, что если функция разрывна в точке x0 некоторой кривой, то точка x0 является точкой разрыва этой функции. Однако может найтись другая кривая, проходящая через эту точку, вдоль которой функция будет непрерывной.

Точки разрыва функций нескольких переменных, в отличие от точек разрыва функций одной переменной, могут представлять собой многообразия различной структуры: прямые, плоскости, кривые, поверхности и т.д.

Пример 7.2. Исследовать на непрерывность функции

46 Глава 2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных

Отсюда следует, что функция z1(x, y) непрерывна при всех x и y, кроме точки x = y = 0, т.е. начала координат, в которой она имеет бесконечный разрыв.

2. Поскольку числитель и знаменатель функции z2(x, y) имеют пределы:

то данная функция может иметь разрыв лишь в тех точках, где знаменатель

Значит, все точки прямой y = −x, за исключением одной: x = 0, y = 0, являются точками устранимого разрыва функции z2(x, y). Из соотношения

получаемого с уч¨етом соотношения

lim(x2 + y2 − xy) = +0; x2 + y2 > xy; (x − y)2 > 0,

x→0 y→0

следует, что точка (0, 0) — точка бесконечного разрыва.

3. Функция z3 = x2+y2 непрерывна на всей плоскости xOy как по совокупности переменных, так и по каждой из них, поскольку

z3 = 2x0 x + 2y0 y + (Δx)2 + (Δy)2

ималым приращениям аргументов соответствует малое приращение функции.

4.Вычислим повторные пределы:

Следовательно, предел функции z4(x, y) в точке (0,0) не существует и функция не является непрерывной в этой точке.

Отметим, что из непрерывности функции в точке x0 по совокупности переменных следует е¨ непрерывность по каждой переменной xi и вообще по любому подмножеству X, содержащему точку x0, например прямой, кривой и т.д. Обратное утверждение в общем случае неверно, что и подтверждают следующие примеры.

Пример 7.3. При каких значениях параметра A функция

Решение. 1) В этом случае значение параметра A следует искать из равенства

Однако, как показано в примере 4.3, двойной предел в левой части (7.11) не существует. Следовательно, при любом значении параметра A функция z1(x, y) является разрывной в точке (0, 0) по совокупности переменных x и y.

2) В этом случае значение параметра A следует искать из равенства

(x,y) L

Следовательно, при выборе A = sin 2α функция z1(x, y) будет непрерывной по

направлению . Например, при , т.е. для биссектрисы I-ой

= (cos α, sin α) α = π/4

четверти, значение параметра A будет A = sin(2π/4) = 1.

3) Непрерывность функции z1(x, y) по переменной x соответствует непрерывности по прямой, образованной двумя лучами, выходящими из точки (0, 0) под

то при выборе A = 0 функция z1(x, y) будет непрерывной по переменной y. Объединение пунктов 3 и 4 позволяет сделать вывод о том, что при A = 0

функция z1(x, y) непрерывна по каждой переменной x и y в отдельности, являясь при этом разрывной по совокупности переменных x и y.

в точке (0, 0) является непрерывной: 1) по совокупности переменных x и y;

2)по направлению ;

= (cos α, sin α)

3)по переменным x и y в отдельности?

Решение. 1) В этом случае значение параметра A следует искать из равенства

Однако, как показано в примере 4.3, двойной предел в левой части этого равенства не существует. Следовательно, при любом значении параметра A функция z2(x, y) является разрывной в точке (0, 0) по совокупности переменных x и y.

2) В этом случае значение параметра A следует искать из равенства

Следовательно, при выборе A = 0 функция z2(x, y) будет непрерывной по всем направлениям, кроме двух: α1 = π/4 и α2 = 5π/4, по которым она будет разрывна. Другими словами, функция z2(x, y) будет непрерывна по всем прямым, проходящим через начало координат, за исключением прямой y = x.

Напротив, при выборе A = 1 функция z2(x, y) будет непрерывной по единственной прямой y = x и разрывной по любой другой прямой, проходящей через точку (0, 0).

3) В этом случае значение A легко получить из предыдущего решения. Поскольку оси Ox и Oy являются прямыми, проходящими через начало координат, то выбор A = 0 обеспечивает непрерывность по каждой переменной x и y в отдельности.

Впрочем, этот же ответ можно получить, не используя пример 5.3. Действительно, предел функции z2(x, y) по всем прямым y = kx имеет вид

(x,y) L