FNP

Но тогда подстановка (11.2) в (10.1) да¨ет (11.1), что и требовалось доказать.

♦ Следует иметь в виду, что теорема 11.1 формулирует необходимое, но не достаточное условие, поэтому только из существования частных производных функции в точке не следует е¨ дифференцируемость в этой точке. Более того, существование частных производных функции в точке не гарантирует даже е¨ непрерывность в этой точке. Проиллюстрируем это следующими примерами.

Пример 11.1. Исследовать на дифференцируемость в точке x = 0, y = 0 функцию

Решение. В примере 9.7 было показано, что данная функция в точке (0, 0) имеет частные производные zx(0, 0) = zy(0, 0) = 0. Представим приращение функции

z(x, y) в точке (0, 0) в виде

В силу теоремы 11.1 функция z(z, y) будет дифференцируемой в точке (0, 0), если функция

e−1/(x2+y2)

α(x, y) =

x2 + y2

будет бесконечно малой при x → 0, y → 0, т.е. выполняется равенство

Положив ρ = x2 + y2, получим известный предел

подтверждающий равенство (11.3), из которого следует дифференцируемость данной функции в точке (0, 0).

Пример 11.2. Показать, что функции

1) z = √xy; 2) z = 3 x3 − y3,

3

непрерывные в точке x = 0, y = 0 и имеющие в ней частные производные, не дифференцируемы в ней.

Решение. Заметим, что недифференцируемость этих функций была уже доказана в примере 10.1, а в примере 9.7 были найдены их частные производные в точке (0, 0). Приращение исследуемой функции в точке (0, 0) можно представить в виде

z(x, y) − z(0, 0) = zx(0, 0)x + zy(0, 0)y + α(x, y) x2 + y2, x → 0, y → 0. (11.4)

В силу теоремы 11.1 функции z(z, y) будут дифференцируемыми в точке (0, 0), если функция α(x, y) бесконечно мала при x → 0, y → 0, т.е. выполняется равенство

Для этого предварительно вычислим предел по прямой y = kx:

Поскольку существуют прямые, при стремлении по которым к точке (0, 0) предел

функции α(x, y) не равен нулю, то эта функция не является бесконечно малой

√

при x → 0, y → 0, а функция z = 3 xy не дифференцируема в этой точке.

2) Частные производные функции z = 3 x3 − y3 в точке (0, 0) равны zx(0, 0) = 1, zy(0, 0) = −1. Следовательно, для не¨ формула 11.4 примет вид

Исходная функция будет дифференцируемой, если α(x, y) — бесконечно малые при x → 0, y → 0.

Вычислим двойной предел

Для этого предварительно вычислим предел по прямой y = −x:

Поскольку существуют прямая y = −x, при стремлении по которой к точке (0, 0) предел функции α(x, y) не равен нулю, то эта функция не является бесконечно

3 x3 − y3 не дифференцируема в этой

Теорема 11.2 (достаточные условия дифференцируемости функции в точке). Если все частные производные (∂f/∂xi)(x), i = 1, n, функции w = f(x) определены в окрестности точки x0 и непрерывны в x0, то функция w = f(x) дифференцируема в точке x0.

Доказательство провед¨ем для функции двух переменных, т.е. x = (x, y), x0 = (x0, y0) (доказательство для функции произвольного числа переменных аналогично). Пусть fx(x, y) и fy(x, y) определены в некотором шаре (круге) S(x0, y0; δ) и

непрерывны в его центре (x0, y0). Приращение функции f(x0, y0) запишем в виде

что позволяет применить к ней формулу конечных приращений Лагранжа (см. [11], формула (18.6))

Так как частная производная fx(x, y) непрерывна в точке (x0, y0), то существует

Таким образом, равенство (11.10) содержит непрерывную в точке (x0, y0) функцию f1(x, y).

Введ¨ем теперь в рассмотрение функцию

ϕ2(t) = f(x0, t).

Как и в предыдущем случае, для второго слагаемого в (11.7) получим равенство

f(x, y) − f(x0, y0) = f1(x, y)(x − x0) + f2(x, y)(y − y0).

Из непрерывности функций f1(x, y) и f2(x, y) и теоремы 10.1 следует дифференцируемость функции w = f(x, y) в точке (x0, y0).

В теории функций нескольких переменных теорема 11.2 имеет важное значение, поскольку исследование функции на дифференцируемость в точке непосредственно по определению зачастую бывает весьма трудоемким. В этих случаях значительно проще проверить непрерывность частных производных, для вычисления которых имеется удобный аналитический аппарат.

♦ Непрерывность частных производных, являясь достаточным условием, не является необходимым условием дифференцируемости функции в точке.

Пример 11.3. Показать, что функция

дифференцируема в точке x = 0, y = 0, однако имеет в этой точке разрывные частные производные, не ограниченные в любой точке окрестности точки (0, 0).

Решение. Функция f(x, y) дифференцируема в точке (0, 0), поскольку

Покажем, что частные производные fx и fy разрывны в точке (0, 0) и не ограниче-

ны в любой е¨ окрестности. С этой целью выберем последовательность {xn, yn}∞n=1, сходящуюся к точке (0, 0) при n → ∞, например

Поскольку xn → 0, yn → 0 при n → ∞, то последовательность точек {xn, yn}∞n=1 попадает в любую окрестность точки (0, 0). При этом соответствующие последовательности

Это означает, что частные производные fx и fy разрывны в точке (0, 0) и не

ограничены в любой е¨ окрестности.

В заключение отметим, что необходимость исследовать вопрос о связи между непрерывностью, дифференцируемостью функции и существованием е¨ частных производных связана с тем, что определения непрерывности и дифференцируемости основаны на понятии предела по совокупности переменных, тогда как частные производные определяются с помощью пределов по направлениям координатных осей, т.е. пределов по каждой переменной в отдельности.

12.Дифференцируемость и частные производные сложной функции

Теорема 12.1 (о частных производных сложной функции). Если функции

ϕi(x), i = 1, m, дифференцируемы в точке x0 Rn, а функция f(y) — в точке

y0 = (ϕ1(x0), ..., ϕm(x0)) Rm, то сложная функция w(x) = f(ϕ1(x), ..., ϕm(x))

дифференцируема в точке x0, прич¨ем

Доказательство. Для функции f(y), дифференцируемой в точке y0 Rm, в

силу теоремы 10.1 существуют функции fj (y), i = 1, m, непрерывные в точке y0 и такие, что

Согласно теореме 8.2 о непрерывности сложной функции и принимая во внимание, что дифференцируемые в точке функции являются непрерывными в ней, заключаем, что функции

Подставив в (12.2) y = (ϕ1(x), ..., ϕm(x)) и учитывая обозначения (12.3), имеем

В силу условий теоремы функции ϕj(x), j = 1, m, дифференцируемы в x0, следовательно, существуют такие непрерывные в x0 функции ϕij(x), что

Так как функции ϕij(x) и ψj (x) непрерывны в точке x0, то и функции wi(x) непрерывны в этой точке. Это означает, что

Отсюда с уч¨етом обозначений (12.4) и (12.6) найд¨ем формулу вычисления частных производных

совпадающую с (12.1).