FNP

и преобразовать это уравнение, приняв u = 2+3x−y, v = 1−x+y за новые независимые переменные.

8.11.Заменяя приращение соответствующей функции е¨ полным дифференциалом, вычислить приближ¨енно: а) (2 − √0,97)3,02; б) значение неявной функции 2) из задачи

8.6при x = 1,02, y = 0,97.

8.12.Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной

точке:

8.13.Для функции f (x, y) = √xy найти ∂5f/∂x∂y4, полученный результат продифференцировать по направлению вектора 2ı − 3j.

8.14.Найти экстремумы функции

z = x2 + xy + y2 − 2x − y; x2 + y2 + z2 − 2x + 2y − 4z − 10 = 0.

8.15. Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = 1 + xy2 в замкнутой

Вариант № 9

9.1. Найти область определения функции и изобразить е¨е:

9.5. Найти все частные производные первого порядка и частные дифференциалы

ln3(x − z sin y)

неявные функции y = f (x), z = f (x, y) в окрестности указанной точки? Если да, то найти их производные в этой точке.

9.7. Найти производную и дифференциал сложной функции z = arcsin(uv)3/w, где u = x4 − 1, v = ex, w = xx.

9.9.Для функции z = ctg(y/x) найти dz, d2z, d3z и записать ее разложение по формуле Тейлора в точке до 3-го порядка в точке M(π, 2).

9.10.Показать, что функция z = exy удовлетворяет равенству

x2 ∂2z − y2 ∂2z = 0, ∂x2 ∂y2

и преобразовать это уравнение, приняв u = 1−x−y, v = 2+x+2y за новые независимые переменные.

9.11.Заменяя приращение соответствующей функции е¨ полным дифференциалом, вычислить приближ¨енно: а) ln[(0,09)3 + (0,99)3]; б) значение неявной функции 2) из задачи 9.6 при x = 0,98, y = 1,02.

9.12.Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной

точке:

9.13.Для функции f (x, y) = ln(xy + y2) найти ∂4f/∂x2∂y2, полученный результат продифференцировать по направлению вектора 3ı − 2j.

9.14.Найти экстремумы функции

z = 1 + 6x − x2 − xy − y2; w = x1x22x33x44(1 − x1 − 2x2 − 3x3 − 4x4), xi > 0, i = 1, ..., 4.

острый угол, полученный результат продифференцировать по направлению вектора ,

перпендикулярного и .

n k

xyz

9.17. Найти угол между градиентами данного поля u = x2 + y2 + z2 в точках M(1, 1, 1),

N(1, 2, −1).

Вариант № 10

10.1. Найти область определения функции и изобразить е¨е:

√

1) z = ln(3 − 6x + y2); 2) u = x + 4 − y − z.

10.2. Построить график функции z = 1 + x2 + y2.

10.3. Найти пределы: а) по направлению прямой, составляющей угол α = π/4 к оси Ox; б) оба повторных и в) двойной в указанной точке M0(x0, y0) для функции

неявные функции y = f (x), z = f (x, y) в окрестности указанной точки? Если да, то найти их производные в этой точке.

10.7. Найти производную и дифференциал сложной функции z = sec(w/[4u − v]), где u = 21/x, v = x2, w = xsin x.

10.8. Найти частные производные и частные дифференциалы сложной функции z =

√

ew/( u − v), где u = tg(x + 4y), v = 5xy, w = (x + 1)sin y.

10.9.Для функции z = tg((x+y)/(x−y)) найти dz, d2z, d3z и записать е¨ разложение по формуле Тейлора в точке до 3-го порядка в точке M(2, 1).

10.10.Проверить, удовлетворяет ли функция z = ϕ(x/y) уравнению

и преобразовать это уравнение, приняв u = x−2+y, v = 3−x+3y за новые независимые переменные.

10.11. Заменяя приращение соответствующей функции е¨ полным дифференциалом,

вычислить приближ¨енно: а) (4,01)2 + (1,93)2; б) значение неявной функции 2) из задачи 10.6 при x = 0,98, y = 1,02.

10.12. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной

10.13.Для функции f (x, y) = xy найти ∂7f/∂x∂y6, полученный результат продифференцировать по направлению вектора ı − 2j.

10.14.Найти экстремумы функции

z = (x2 + y2)e−(x2+y2) − (x2 + y2); w = x2 − 2xy + 4xz + 8yz + 5y2 + 9z2.

10.15. Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = xy−2x−y в замкнутой области D: 0 x 3, 0 y 4.

164 Индивидуальные задания

10.16. Найти производную скалярного поля u = x + ln(y2 + z2) в точке M(1, 2, 1) по

Вариант № 11

11.1. Найти область определения функции и изобразить е¨е:

1) z = ln(y2 − 4x + 8); 2) u = a2 − x2 − y2 − z2.

11.2.Построить график функции z = (x − 1)2 + (y − 1)2.

11.3.Найти пределы: а) по направлению прямой, составляющей угол α = π/4 к оси Ox; б) оба повторных и в) двойной в указанной точке M0(x0, y0) для функции

11.5. Найти все частные производные первого порядка и частные дифференциалы следующих функций:

1) z = ln sin(x − 2y); 2) u = z4x2−y3 − cos3(yz),

и функций из заданий 11.1, 11.2, 11.3. 11.6. Определяют ли данные уравнения

неявные функции y = f (x), z = f (x, y) в окрестности указанной точки? Если да, то найти их производные в этой точке.

11.7. Найти производную и дифференциал сложной функции z = w cos ln(u2 + 3v), где u = tg x2 , v = x5 − 3, w = (x2 + 1)x.

11.8. Найти частные производные и частные дифференциалы сложной функции z =

ln(u + v3)w, где u = y/x, v = 2x + y, w = arcsin(x2 + y2).

11.9. Для функции z = ex+y−4 найти dz, d2z, d3z и записать е¨ разложение по формуле Тейлора в точке до 3-го порядка в точке M(2, 2).

и преобразовать это уравнение, приняв u = 2+x+4y, v = 3x−y−3 за новые независимые переменные.

11.6 при −x = 0,01, y = 0,95.

3uvw

12.7. Найти производную и дифференциал сложной функции z = sin(u + v3) , где

u= x1 , v = ln2 x, w = e√x.

12.8.Найти частные производные и частные дифференциалы сложной функции z =

(uv)w/(u − v), где u = x2 + y2, v = yx3, w = ln(x2 + y2).

12.9.Для функции z = 7x3y − √xy найти dz, d2z, d3z и записать е¨ разложение по формуле Тейлора в точке до 3-го порядка в точке M(1, 4).

12.10.Проверить, удовлетворяет ли функция u = ϕ(xy, z/y) равенству x∂u∂x − y ∂u∂y + z ∂u∂z = 0,

ипреобразовать это уравнение, приняв r = x + y + z, s = x − y − 1, t = x + 2y + z за новые независимые переменные.

12.11.Заменяя приращение соответствующей функции е¨ полным дифференциалом, вычислить приближ¨енно: а) 10/[(4,98)3 − (5,03)2]; б) значение неявной функции 2) из задачи 12.6 при x = 0,01, y = −0,97.

12.12.Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной

точке:

12.13.Для функции f (x, y) = (y + 1)e−x/(y+1) найти ∂4f/∂y∂x3, полученный результат продифференцировать по направлению вектора 3ı − j.

12.14.Найти экстремумы функции

12.15.Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = x2 +2y+x в замкнутой области D: x2 + y2 1, x + y 1, x 0.

12.16.Найти производную скалярного поля u = xy − xz в точке M(−4, 3, 1) по на-

Вариант № 13

13.1. Найти область определения функции и изобразить е¨е:

13.2. Построить график функции z = x2 + y2 − 4.

13.3. Найти пределы: а) по направлению прямой, составляющей угол α = π/4 к оси Ox; б) оба повторных и в) двойной в указанной точке M0(x0, y0) для функции

13.5. Найти все частные производные первого порядка и частные дифференциалы

ифункций из заданий 13.1, 13.2, 13.3.

13.6.Определяют ли данные уравнения

1)ex+2y + cos π(xy) = 2, M0(2, −1); 2) sin3(x + z) + cos3 y + z = tg3 z + 1, M0(0, 0, 0),

неявные функции y = f (x), z = f (x, y) в окрестности указанной точки? Если да, то найти их производные в этой точке.

13.9.Для функции z = arcsin(x + y) найти dz, d2z, d3z и записать е¨ разложение по формуле Тейлора в точке до 3-го порядка в точке M(0,5; 0,5).

13.10.Проверить, удовлетворяет ли функция u = z3ϕ(y/z, x/z) равенству

u∂u∂x + y ∂u∂y + z ∂u∂z = 3u,

и преобразовать это уравнение, приняв r = x+y, s = y+z, t = x+z за новые независимые переменные.

13.11. Заменяя приращение соответствующей функции е¨ полным дифференциалом,

√

вычислить приближ¨енно: а) ln[(2, 02)3 + 3 0, 98 − 8]; б) значение неявной функции 2) из

задачи 13.6 при x = 0,01, y = 0,03.

13.12. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной

13.13.Для функции f (x, y) = x ln(y3 +xy2) найти ∂5f /∂y2∂x3, полученный результат продифференцировать по направлению вектора ı − j.

13.14.Найти экстремумы функции

z= xy2(1 − x − y); w = x2 + y2 + z2 − xy − x + 2z.

13.15.Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = 5x2 − y2 + 6y в замкнутой области D : x2 + y2 1, x + y 1, y 0.

13.16.Найти производную скалярного поля u = arctg(x − y) + z2 в точке M(1, 2, −1)

Вариант № 14

14.1. Найти область определения функции и изобразить е¨е:

непрерывна по каждой переменной, но разрывна по их совокупности.

14.5. Найти все частные производные первого порядка и частные дифференциалы следующих функций:

ифункций из заданий 14.1, 14.2, 14.3.

14.6.Определяют ли данные уравнения

1) x2y + 3y − sin π(3x + 2y) = 4, M0(−1, 1); 2) z2 − y3x/z = 0, M0(0, 1, 1),

неявные функции y = f (x), z = f (x, y) в окрестности указанной точки? Если да, то

14.8.Найти частные производные и частные дифференциалы сложной функции z = arcsin((u − v)/w)2, где u = tg(xy), v = 4x−y2 , w = ex − e2y.

14.9.Для функции z = ln(3x2 − 2y2) найти dz, d2z, d3z и записать е¨ разложение по формуле Тейлора в точке до 3-го порядка в точке M(1, 1).

14.10.Показать, что заданная функция z = ex+y2 удовлетворяет равенству

и преобразовать это уравнение, приняв u = 2x − 1, v = 2x − y + 2 за новые независимые переменные.

14.11. Заменяя приращение соответствующей функции е¨ полным дифференциалом,

14.12. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке:

14.13.Для функции f (x, y) = exy3 найти ∂5f /∂x4∂y, полученный результат продифференцировать по направлению вектора 2ı + j.

14.14.Найти экстремумы функции

z= x2 + xy + y2 − 3x − 6y; w = x1x22x33(24 − x1 − 2x2 − 3x3), xi > 0.

14.15.Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = 2x2 + y2 − 3y в замкнутой области D : x2 + y2 1, x − y 1, y 0.

14.16.Найти производную функции u = ln(ex + ey) в направлении n, параллельном биссектрисе координатного угла, полученный результат продифференцировать по

направлению вектора , перпендикулярного и .

n j

14.17. Найти угол между градиентами функций v = xyz, u = x2 + 9y2 + 6z2 в точке

M(1, 1/3, 1/16).

Вариант № 15

15.1.Найти область определения функции и изобразить е¨е:

1)z = √x1+ y + √x1− y ; 2) u = ln(2x2 + 4y2 + 8z2 − 8).

15.2. Построить график функции z = − x2 + y2 − 1.

15.3. Найти пределы: а) по направлению прямой, составляющей угол α = π/4 к оси Ox; б) оба повторных и в) двойной в указанной точке M0(x0, y0) для функции

непрерывна в точке (0, 0) по любому лучу, но разрывна по совокупности переменных. 15.5. Найти все частные производные первого порядка и частные дифференциалы

следующих функций:

ифункций из заданий 15.1, 15.2, 15.3.

15.6.Определяют ли данные уравнения

1) x3 − xy2 + 4x+2y = 7, M0(2, −1); 2) z3 − 3xyz = tg(x − y) − 2, M0(1, 1, 1),

неявные функции y = f (x), z = f (x, y) в окрестности указанной точки? Если да, то

15.8.Найти частные производные и частные дифференциалы сложной функции z = tg(uwv2), где u = ex+y, v = (x − y)3, w = ln(ey + x2).

15.9.Для функции z = 5xy4 + 2x2y7 найти dz, d2z, d3z и записать е¨ разложение по формуле Тейлора в точке до 3-го порядка в точке M(1, 1).