3. Принятие решений на основе теории нечётких множеств.

Теория нечетких множеств — раздел прикладной математики, посвященный методам анализа неопределенных данных, в которых описание неопределенностей реальных явлений и процессов проводится с помощью понятия о множествах, не имеющих четких границ.

Теория нечетких множеств — это расширение классической теории множеств. В классической теории множеств принадлежность элементов некоторому множеству понимается в бинарных терминах в соответствии с четким условием — элемент либо принадлежит, либо не принадлежит данному множеству. В теории нечетких множеств допускается градуированное понимание принадлежности элемента множеству; степень принадлежности элемента описывается при помощи функции принадлежности.

Переход от принадлежности элементов заданному множеству - к непринадлежности их этому множеству происходит или может происходить постепенно, не резко.

Нечеткое множество характеризуется функцией принадлежности, отображающей некоторое множество (носитель нечеткого множества) в отрезок [0; 1]. Значение функции принадлежности показывает степень принадлежности соответствующего элемента носителя рассматриваемому нечеткому множеству. Это значение меняется от 0 (полная непринадлежность) до 1 (полная принадлежность).

Понятие "нечеткое множество" введено Л.А.Заде в 1965 г. Исходный термин - fuzzy set. Другие варианты перевода на русский язык - нечеткое, расплывчатое, размытое, туманное, пушистое множество.

Теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей.

Теория нечетких множеств применяется в теории и практике управления системами, в экономике и финансах для решения задач в условиях неопределенности ключевых показателей. Ряд стиральных машин и фотоаппаратов сегодня оборудованы нечёткими контроллерами.

В социологии классификация и типология может проводиться по выбранным критериям, или по эмпирически обнаруженным основаниям. Это позволяет выделить теоретические и эмпирические типологии.

Основные понятия.

Под нечётким множеством понимается совокупность

, где — универсальное множество, а — функция принадлежности (характеристическая функция), характеризующая степень принадлежности элемента нечёткому множеству .Привести пример с большими рыбами, умными студентами и т.д.

Функция принимает значения в некотором вполне упорядоченном множестве . Множество называют множеством принадлежностей, часто в качестве выбирается отрезок . Если , то нечёткое множество может рассматриваться как обычное, чёткое множество.

Пусть нечёткое множество с элементами из универсального множества и множеством принадлежностей . Тогда

• Носителем (суппортом) нечёткого множества называется множество .

• Величина называется высотой нечёткого множества .

• Нечёткое множество нормально, если его высота равна . Если высота строго меньше , нечёткое множество называется субнормальным.

• Нечёткое множество пусто, если . Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле:

• Нечёткое множество унимодально, если только на одном из .

• Элементы , для которых , называются точками перехода нечёткого множества .

Сравнение нечётких множеств

Пусть A и B нечёткие множества, заданные на универсальном множестве X.

• A содержится в B, если для любого элемента из X функция его принадлежности множеству A будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству B:

• В случае, если условие выполняется не для всех , говорят о степени включения нечёткого множества A в B, которое определяется так: где

• Два множества называются равными, если они содержатся друг в друге:

• В случае, если значения функций принадлежности и почти равны между собой, говорят о степени равенства нечётких множеств A и B, например, в виде где

Пример описания неопределенности с помощью нечеткого множества

  Понятие «богатый» часто используется при обсуждении социально-экономических проблем, в том числе и в связи с подготовкой и принятием решений. Однако очевидно, что разные лица вкладывают в это понятие различное содержание. Сотрудники Института высоких статистических технологий и эконометрики провели социологическое исследование представления различных слоёв населения о понятии "богатый человек".

Мини-анкета опроса выглядела так:

1. При каком месячном доходе (в млн. руб. на одного человека) Вы считали бы себя богатым человеком?

2. Оценив свой сегодняшний доход, к какой из категорий Вы себя относите:

а) богатые; 

б) достаток выше среднего; 

в) достаток ниже среднего;

г) бедные;

д) за чертой бедности?

3. Ваша профессия, специальность.

  Всего было опрошено 74 человека, из них 40 - научные работники и преподаватели, 34 человека - не занятых в сфере науки и образования, в том числе 5 рабочих и 5 пенсионеров. Из всех опрошенных только один (!) считает себя богатым. Несколько типичных ответов научных работников и преподавателей приведено в табл.1, а аналогичные сведения для работников коммерческой сферы – в табл.2.

Таблица 1.

Типичные ответы научных работников и преподавателей

Профессия (специальность)	Месячный доход в млн. руб для богатого	Категория на сегодняшний день	Пол
Преподаватель	1	Достаток ниже среднего	Ж
Доцент	1	Достаток выше среднего	Ж
Учитель	10	Достаток ниже среднего	М
Старший научный сотрудник	10	За чертой бедности	М
Инженер – физик	24	За чертой бедности	Ж
Программист	25	Бедный	М
Научный работник	45	Бедный	М

Таблица 2.

Типичные ответы работников коммерческой сферы

Профессия (специальность)	Месячный доход в млн. руб для богатого	Категория на сегодняшний день	Пол
Вице-президент банка	100	Богатый	Ж
Зам. директора банка	50	Достаток выше среднего	Ж
Начальник. кредитного отдела	50	Достаток выше среднего	М
Начальник отдела ценных бумаг	10	Достаток выше среднего	М
Главный бухгалтер	20	За чертой бедности	Ж
Бухгалтер	15	Достаток ниже среднего	Ж
Менеджер банка	11	Достаток выше среднего	М
Начальник отдела проектирования	10	Достаток ниже среднего	Ж

Разброс ответов на первый вопрос – от 1 до 100 млн. руб. в месяц на человека. Результаты опроса показывают, что критерий богатства у финансовых работников в целом несколько выше, чем у научных (см. гистограммы на рис.1 и рис.2 ниже).

  Опрос показал, что выявить какое-нибудь конкретное значение суммы, которая необходима "для полного счастья", пусть даже с небольшим разбросом, нельзя, что вполне естественно. Как видно из таблиц 1 и 2, денежный эквивалент богатства колеблется от 1 до 100 миллионов рублей в месяц. Подтвердилось мнение, что работники сферы образования в подавляющем большинстве причисляют свой достаток к категории "достаток ниже среднего" и ниже (81% опрошенных), в том числе к категории "за чертой бедности" отнесли свой достаток 57%.

  Со служащими коммерческих структур и бюджетных организаций иная картина: "бедная" - категория 1 человек (4%), "за чертой бедности" - категория 4 человека (17%), "доход выше среднего" - категория - 46% и 1 человек "богатая" - категория.

  Пенсионеры, что не вызывает удивления, отнесли свой доход к категории "за чертой бедности" (4 человека), и лишь один человек указал "бедную" - категорию. Рабочие же ответили так: 4 человека - "доход ниже среднего", и один человек - "доход выше среднего".

  Для представления общей картины в табл.3 приведены данные об ответах работников других профессий.

Таблица 3.

Типичные ответы работников различных профессий.

Профессия (специальность)	Месячный доход в млн. руб для богатого	Категория на сегодняшний день	Пол
Работник торговли	1	Доход выше среднего	ж
Дворник	2	Доход ниже среднего	ж
Водитель	10	Доход ниже среднего	м
Военнослужащий	10	Доход ниже среднего	м
Владелец бензоколонки	20	Доход выше среднего	ж
Пенсионер	6	За чертой бедности	ж
Начальник фабрики	20	Доход выше среднего	м
Хирург	5	Доход ниже среднего	м
Домохозяйка	10	Доход ниже среднего	ж
Слесарь-механик	25	Доход ниже среднего	м
Юрист	10	Доход выше среднего	м
Оператор ЭВМ	20	За чертой бедности	м
Работник собеса	3	За чертой бедности	ж
Архитектор	25	Доход выше среднего	ж

  Прослеживается интересное явление: чем выше планка богатства для человека, тем к более низкой категории относительно этой планки он себя относит.

  Для сводки данных естественно использовать гистограммы. Для этого необходимо сгруппировать ответы. Использовались 7 классов (интервалов):

1 – до 5 миллионов рублей в месяц на человека (включительно);

2 – от 5 до 10 миллионов;

3- от 10 до 15 миллионов;

4 – от 15 до 20 миллионов;

5 – от 20 до 25 миллионов;

6 – от 25 до 30 миллионов;

7 – более 30 миллионов.

(Во всех интервалах левая граница исключена, а правая, наоборот – включена.)

  Сводная информация представлена на рис.1 (для научных работников и преподавателей) и рис.2 (для всех остальных, т.е. для лиц, не занятых в сфере науки и образования - служащих иных бюджетных организаций, коммерческих структур, рабочих, пенсионеров).

Рис.1. Гистограмма ответов на вопрос 1 для научных работников и преподавателей (40 человек).

  Рис.2. Гистограмма ответов на вопрос 1 для лиц, не занятых в сфере науки и образования (34 человека).

Для двух выделенных групп, а также для некоторых подгрупп второй группы рассчитаны сводные средние характеристики – выборочные средние арифметические, медианы, моды. При этом медиана группы - количество млн. руб., названное центральным по порядковому номеру опрашиваемым в возрастающем ряду ответов на вопрос 1, а мода группы - интервал, на котором столбик гистограммы - самый высокий, т.е. в него "попало" максимальное количество опрашиваемых. Результаты приведены в табл. 4.

Таблица 4.

Сводные средние характеристики ответов на вопрос 1 для различных групп (в млн. руб. в мес. на чел.).

Группа опрошенных	Среднее арифметическое	медиана	мода
Научные работники и преподаватели	11,66	7,25	(5; 10)
Лиц, не занятых в сфере науки и образования	14,4	20	(5; 10)
Служащие коммерческих структур и бюджетных организаций	17,91	10	(5; 10)
Рабочие	15	13	-
Пенсионеры	10,3	10	-

  Построим нечеткое множество, описывающее понятие «богатый человек» в соответствии с представлениями опрошенных. Для этого составим табл.5 на основе рис.1 и рис.2 с учетом размаха ответов на первый вопрос.

Таблица 5.

Число ответов, попавших в интервалы

№	Номер интервала	0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	Интервал, млн. руб. в месяц	(0;1)	[1;5]	(5;10]	(10;15]	(15;20]	(20;25]	(25;30]	(30;100)	[100;+∞)
2	Число ответов в интервале	0	19	21	13	5	6	7	2	1
3	Доля ответов в интервале	0	0,257	0,284	0,176	0,068	0,081	0,095	0,027	0,013
4	Накопленное число ответов	0	19	40	53	58	64	71	73	74
5	Накопленная доля ответов	0	0,257	0,541	0,716	0,784	0,865	0,960	0,987	1,000

  Пятая строка табл.5 задает функцию принадлежности нечеткого множества, выражающего понятие "богатый человек" в терминах его ежемесячного дохода. Это нечеткое множество является подмножеством множества из 9 интервалов, заданных в строке 2 табл.5. Или множества из 9 условных номеров {0, 1, 2, …, 8}. Эмпирическая функция распределения, построенная по выборке из ответов 74 опрошенных на первый вопрос мини-анкеты, описывает понятие "богатый человек" как нечеткое подмножество положительной полуоси.

Попробуйте в качестве примера исследовать значения фактора «Уровень качества курса» с использованием нечетких множеств. Значение оценки, присваиваемой каждому курсу для фактора «Уровень качества курса», определяется на универсальной шкале [0,1], где необходимо поместить значения переменной «Уровень качества курса»: НИЗКИЙ, СРЕДНИЙ, ВЫСОКИЙ. Степень принадлежности некоторого уровня вычисляется как отношение числа ответов, в которых он встречался для данного курса, к максимальному (для этого значения) числу ответов по всем курсам.

Был проведен опрос 100 экспертов об уровне качества 3-х электронных курсов. Каждому эксперту в процессе опроса предлагалось оценить с позиции потребителя ценность того или иного курса. Эксперты давали свою оценку для каждого курса по 3-х бальной шкале: низкий средний, высокий. Результаты опроса сведены в таблицу.

Курс	Уровень качества	Кол-во экспертов, давших
Экономика	низкий	23
Экономика	средний	25
Экономика	высокий	52
Гражданское право	низкий	45
Гражданское право	средний	39
Гражданское право	высокий	16
Математика	низкий	56
Математика	средний	14
Математика	высокий	30

Построим аналогично предыдущему таблицу для расчёта коэффициентов принадлежности курса к каждому из уровней качества.

Оценка	Низкая
Курс	Число ответов	Доля ответов	Накопленное число ответов	Накопленная доля ответов
Экономика	23	0,185	23	0,185
Гражданское право	45	0,363	68	0,548
Математика	56	0,452	124	1,0
Оценка	Средняя
Курс	Число ответов	Доля ответов	Накопленное число ответов	Накопленная доля ответов
Математика	14	0,179	14	0,179
Экономика	25	0,321	39	0,5
Гражданское право	39	0,5	78	1,0
Оценка	Высокая
Курс	Число ответов	Доля ответов	Накопленное число ответов	Накопленная доля ответов
Гражданское право	16	0,163	16	0,163
Математика	30	0,306	46	0,469
Экономика	52	0,531	98	1,0

Решение задач принятия решений с использованием теории нечётких множеств сводится к выбору альтернатив, удовлетворяющих всем заданным критериям со значениями функции принадлежности по каждому критерию, находящимися в заранее заданных пределах (определяется экспертами).

В ходе управления финансами очень часто возникает задача борьбы с неопределенностью, сопровождающей финансовые решения. Неопределенность эта двоякая: а) текущее состояние финансовой системы не может быть распознано с необходимой точностью; б) будущие показатели финансовой системы и ее внешнего окружения неизвестны вполне точно.

Нечеткие множества в этом смысле могут выступать как инструмент моделирования неопределенности, который базируется на известной мыслительной способности человека оперировать качественными категориями и оформлять свои логические выводы также в качественной форме.

Оценка качества — это квалиметрия. Характерные задачи квалиметрии в финансовом менеджменте: оценка риска банкротства предприятия, оценка надежности акций и облигаций, выбор управляющей компании, оценка перспективности приобретения недвижимости, стоимостная оценка банковских залогов и т.д.

Все оценки производятся на основе наблюдений и независимых оценок экспертов. Если же речь идет об операциях с будущими значениями финансовых факторов, то удобно моделировать эти факторы как нечеткие числа и функции. Тогда можно получить итоговые результаты моделирования и оценить риск того, что эти финансовые результаты окажутся ниже предустановленных нормативов.

Характерные приложения теории нечётких множеств к финансовому менеджменту следующие:

1. Анализ риска банкротства предприятия.

2. Оценка риска инвестиционного проекта.

3. Построение оптимального портфеля ценных бумаг и бизнесов.

4. Оценка справедливой стоимости объектов (в том числе объектов недвижимости).

5. Оценка инвестиционной привлекательности акций и облигаций.

6. Анализ необходимости и обоснованности IT-решений.

Выводы.

Теория нечетких множеств — раздел прикладной математики, посвященный методам анализа неопределенных данных, в которых описание неопределенностей реальных явлений и процессов проводится с помощью понятия о множествах, не имеющих четких границ

Нечеткое множество характеризуется функцией принадлежности, отображающей некоторое множество (носитель нечеткого множества) в отрезок [0; 1]. Значение функции принадлежности показывает степень принадлежности соответствующего элемента носителя рассматриваемому нечеткому множеству. Это значение меняется от 0 (полная непринадлежность) до 1 (полная принадлежность).

Решение задач принятия решений с использованием теории нечётких множеств сводится к выбору альтернатив, удовлетворяющих всем заданным критериям со значениями функции принадлежности по каждому критерию, находящимися в заранее заданных пределах (определяется экспертами).