69

7. Иерархическое представление проблемы

При принятии управленческих решений и прогнозировании возможных результатов лицо, принимающее решение, обычно сталкивается со сложной системой взаимозависимых компонент (ресурсы, желаемые исходы или цели, лица или группа лиц и т.д.), которую нужно проанализировать.

Когда экономические факторы сводятся к числам в денежном измерении, количество объектов, их вес в тоннах и время, необходимое для их производства, вычислены и произведены оценки вероятностей, зачастую оказывается, что эффективность процесса моделирования сложных человеческих проблем достигла своего предела. Человеческие возможности в этом процессе сильно зависят от тех факторов, которые мы можем измерять.

Если затем модели плохо работают, то это происходит из-за того, что мы опустили некоторые существенные факторы, принимая облегчающие допущения. По крайней мере, в социальных науках вину за полученный результат возлагают, как правило, на политиков, на человеческие капризы и другие факторы, рассматриваемые как досадные заблуждения, которые со временем исчезнут. Но именно они являются теми контролирующими факторами, с которыми мы должны иметь дело и которые должны уметь измерять, чтобы получить реалистичные результаты. Необходимо по возможности отказываться от принятия облегчающих допущений в наших моделях и принимать сложные ситуации такими, какими они являются. Чтобы быть реалистичными, наши модели должны включать в себя и позволять измерять все важные осязаемые и неосязаемые, количественные и качественные факторы. Это как раз то, что делается в методе анализа иерархий (МАИ), при котором также допускаются различия во мнениях и конфликты, как это бывает в реальном мире.

Метод анализа иерархий включает в себя процедуры синтеза множественных суждений, получения приоритетности критериев и нахождения альтернативных решений. Такой подход к решению проблемы выбора исходит из естественной способности людей думать логически и творчески, определять события и устанавливать отношения между ними.

В настоящее время существует множество информационных технологий, позволяющих предельно облегчить жизнь и помочь в решении проблем, связанных с процессами принятия решений в различных предметных областях на основе Метода Анализа Иерархий, разработанного американским ученым Т. Саати.

Этапы метода анализа иерархий

1. Очертить проблему и определить, что мы хотим

2. Построить иерархию ( цель, критерии, альтернативы)

3. Построить множество матриц парных сравнений для каждого из нижних уровней по одной матрице для каждого элемента примыкающего сверху уровня

4. Проверить индекс согласованности каждой матрицы

5. Использовать иерархический синтез для взвешивания собственных векторов

Основные определения и понятия

Иерархия есть определенный тип системы, основанный на предположении, что элементы системы могут группироваться в несвязанные множества. Элементы каждой группы находятся под влиянием элементов некоторой вполне определенной группы и, в свою очередь, оказывают влияние на элементы другой группы. Мы считаем, что элементы в каждой группе иерархии (называемой уровнем, кластером, стратой) независимы.

Основной задачей в иерархии является оценка высших уровней исходя из взаимодействия различных уровней иерархии, а не из непосредственной зависимости от элементов на этих уровнях.

Точные методы построения систем в виде иерархий постепенно появляются в естественных и общественных науках, и особенно в задачах общей теории систем, связанных с планированием и построением социальных систем. Концептуально, наиболее простая иерархия - линейная, восходящая от одного уровня элементов к соседнему уровню. Например, в процессе производства имеется уровень рабочих, доминируемый уровнем мастеров, который в свою очередь доминируется уровнем управляющих и т. д., до вице-президентов и президента. В нелинейной иерархии верхний уровень может быть как в доминирующем положении по отношению к нижнему уровню, так и в доминируемом (например, в случае потока информации).

Естественные системы, составленные иерархически, т. е. посредством модульного построения и затем сборки модулей, строятся намного эффективнее, чем системы, собранные в целом.

Иерархии устойчивы и гибки; они устойчивы в том смысле, что малые изменения вызывают малый эффект, а гибкие в том смысле, что добавления к хорошо структурированной иерархии не разрушают ее характеристик.

Преимуществом метода анализа иерархий над большинством существующих методов оценивания альтернатив является чёткое выражение суждений экспертов и ЛПР, а также ясное представление структуры проблемы: составных элементов проблемы и взаимосвязей между ними.

Иерархия строится следующим образом: сначала определяется цель принятия решения (фокус проблемы). Это высший уровень иерархии. Например, выбор наилучшего места работы, ВУЗа для учёбы и т.д. За фокусом следует уровень наиболее важных критериев (оплата труда, время, необходимое для проезда на работу, и т.д.). Каждый критерий может делиться на субкритерии. За субкритериями следует уровень альтернатив, число которых может быть достаточно большим. Декомпозиция проблемы в иерархию зависит от хода мысли ЛПР, его концепции решения проблемы, интуиции и опыта.

Рассмотрим упрощённую модель принятия решения о выборе места работы. Есть три места работы: А1, А2 и А3

При выборе работы учитываются четыре критерия: зарплата, удалённость от дома, перспективы карьерного роста и риск потери работы.

Полученная иерархия соответствует 3-уровневой полной иерархии с фокусом принятие решения. Иерархия называется полной, если между элементами соседних уровней имеются все возможные связи.

Рассмотрим другую проблему – подбор кандидата на вакантное место: трёх кандидатов оценивают два эксперта, каждый по своим двум критериям, а затем докладывают свои выводы руководству для принятия окончательного решения. В этом случае иерархия будет выглядеть следующим образом.

Полученная иерархия соответствует 4-х уровневой неполной иерархии с фокусом ПР. Но её можно свести к набору из двух полных трёхуровневых иерархий и одной двухуровневой: для этого нужно разрезать связи между фокусом и элементами С1 и С2.

Вывод: анализ неполных иерархий можно свести к анализу набора соответствующих полных иерархий.

Наиболее полные иерархии возникают при анализе проблем стратегического планирования. Стратегическое планирование – процесс формирования вероятностного будущего.

Уровни, возникающие при этом планировании следующие:

1. Устанавливается фокус проблемы

2. Устанавливаются экономические, политические и социальные причины, которые могут влиять на исход (иногда этот уровень опускают, переходя сразу к третьему)

3. Люди и организации (акторы), которые решают, какие действия, влияющие на экономическую, политическую и социальную ситуацию, предпринимать. К этому же уровню относятся и те, на кого влияют принимаемые решения.

4. Устанавливает цели каждого актора.

5. Средства достижения целей, которыми пользуются акторы (необязательный уровень)

6. Исходы, за которые борется каждый актор, как за результат реализации своих целей.

7. Обобщённый сценарий, который представляет собой результат реализации всех сценариев предыдущего уровня с учётом их веса. Обобщённый сценарий называется также логическим исходом.

Очень важным с точки зрения анализа иерархий является измерение весов элементов иерархии на одном уровне, чтобы можно было выделить , наиболее важные критерии , акторов и т.д. и в конце концов определить альтернативу, имеющую, в соответствии с проведёнными сравнениями наибольший вес. При этом необходимо также учитывать согласованность таких измерений.

Измерять веса можно двумя способами – сравнивая с эталоном и сравнивая попарно, чтобы распределить по весу (привести пример с взвешиванием предметов). Для ранжирования лучше второй способ.

В процессе любых измерений возможны погрешности, что, в конечном счёте, может привести к несогласованности выводов. Под согласованностью понимают следующее: если сравниваются по весу три предмета и предмет 1 оказался в четыре раза тяжелее второго, а третий в два раза тяжелее второго, то при сравнении первого и третьего важно получить не просто тяжелее, а тяжелее в восемь раз. На примере качественного сравнения показателей: что и во сколько раз лучше, может оказаться очень важным выбор шкалы и знание оценивающим предмета оценки. Как правило, чем лучше человек знаком с ситуацией, тем последовательнее в своих оценках. Обратное утверждение не всегда верно.

Следовательно, для получения хороших результатов требуется использовать подходящую численную шкалу сравнений и определять степень несогласованности суждений.

Шкалирование. Как уже упоминалось в начале курса, в связи с особенностями человеческого мышления, лучше использовать для сравнения не более 7±2 объекта. Если таких объектов больше, то необходимо попробовать сгруппировать их. Затем сравнивать группы, а затем объекты внутри группы, если это необходимо.

Наиболее распространённой на сегодняшний день в методе анализа иерархий является следующая шкала:

• Если объект А и В одинаково важны, то их отношение записывается в виде 1

• Если А незначительно важнее В, то в качестве отношения А/В используют 3 (слабое предпочтение)

• Если А значительно важнее В – 5 (предпочтительнее)

• Если А явно важнее В (сильное предпочтение) – 7

• Если А по своей значимости абсолютно предпочтительнее В -9.

Такая шкала появилась в результате большой работы многих специалистов из различных областей знаний и была проверена на многих практических задачах, где давала очень хорошие результаты.

Числа 2, 4, 6 и 8 используются для облегчения компромисса между оценками. Можно попросить провести сравнение каких-либо объектов по этой шкале и попытаться проверить согласованность оценок.

Понятно, что эти оценки различны для разных людей.

7. Математический аппарат метода анализа иерархий.

Одним из способов практического сравнения объектов, действий или обстоятельств для их количественной оценки является построение матрицы (таблицы) попарных сравнений. Пусть даны объекты А, В, С и т.д. Рассмотрим матрицу попарных сравнений этих объектов

	А	В	С	…
А	а11	а12	а13	…
В	а21	а22	а23	…
С	а31	а32	а33	…
…	…	…	…	…

В этой таблице а₁₂ – отношение важности объекта А по сравнению с В, а₁₃- отношение важности объекта А по сравнению с С и т.д.

Вспомним несколько определений из курса математики.

Матрица А называется положительной, если:

Матрица А называется обратносимметричной, если:

Матрица А является согласованной, если:

Собственным вектором матрицы A называется такой ненулевой вектор , что для некоторого:

Собственным значением матрицы A называется такое число , для которого существует собственный вектор, то есть уравнениеимеет ненулевое решение .

Теорема. Положительная обратносимметричная матрица согласована тогда и только тогда, когда ,где-максимальное собственное значение матрицы, а n-размерность матрицы.

Проанализируем свойства идеальной матрицы парных сравнений (то есть все соотношения оценены идеально).

1. Для любого i справедливо а_ii=1 (диагональный элемент, расположенный на пересечении i-ой строки и i-го столбца), так как это отношение элемента по важности к самому себе.

2. Для любых i и k справедливо равенство а_ki* а_ik=1. Действительно, если а_ki – отношение веса k-го элемента (w_k) к весу i-го элемента (w_i), а а_ik –обратное отношение, то получаем а_ki* а_ik= (w_k / w_i)*( w_i/ w_k)=1. Это соответствует определению обратносимметричной матрицы. То есть для нашей матрицы попарных сравнений, если объекты оценены верно, то а₂₁=1/ а₁₂ и т.д.

3. Для любых i, k и l справедливо равенство а_ik* а_kl=a_il. Это как раз отражает, то, что мы говорили ранее о согласованности измерений.

4. Столбец с весами элементов является собственным вектором матрицы попарных сравнений, с собственным значением  равным количеству сравниваемых элементов (n). Если обозначить матрицу А, столбец с весами w, то будет справедливо А*w =n*w.

Если матрица попарных сравнений строится не на точных измерениях, а на субъективных суждениях, то она, естественно, может отклоняться от идеальной. В этом случае у матрицы будет несколько собственных значений. Вспомним несколько полезных для нас свойств матриц: А*w =*w, где ={₁, ₂,…,_n}. В идеальной матрице все собственные значения равны 0 за исключением одного, равного n. Следующее важное свойство, если элементы положительной обратносимметричной матрицы А незначительно изменить, то собственные значения также изменятся незначительно.

Объединяя эти результаты, находим, что если диагональ матрицы А состоит из единиц и А – согласованная матрица, то при малых изменениях в значениях а_ik наибольшее собственное значение _max остаётся близким к n (при этом всегда maxn), а остальные собственные значения – близкими к нулю.

Поэтому можно сформулировать следующую задачу: если А – матрица значений парных сравнений, то для нахождения вектора весов (или приоритетов) нужно найти вектор w (неравный нулю), который удовлетворяет матричному уравнению А*w =_max*w

Для определения собственного значения _max необходимо решить характеристическое (алгебраическое n-го порядка) уравнение

А - _max *Е=0, где Е – единичная матрица и с учётом соотношения maxn. Далее с найденным значением max следует определить решение w матричного уравнения А*w =_max*w, то есть собственный вектор матрицы А.

Так как желательно иметь нормализованное решение, то слегка изменим w, заменив вектор w на вектор =w/ w_i. Это преобразование обеспечивает единственность вектора и для компонент преобразованного вектора _i=1. Условие нормировки весов удобно использовать для контроля правильности расчётов весов w_i.

Для проведения парных сравнений n объектов или действий требуется суждений о парных сравнениях. Можно оценить отклонение от согласованности матрицы сравнений разностью, разделенной на (n-1). Насколько плоха согласованность для определенной задачи, можно оценить путем сравнения полученного нами значения величиныс её значением из случайно выбранных суждений и соответствующих обратных величин матрицы того же размера.

Выражение называется индексом согласованности (ИС).

Индекс согласованности сгенерированной случайным образом по шкале от 1 до 9 обратносимметричной матрицы с соответствующими обратными величинами элементов, назовем случайным индексом (СИ).

В Национальной лаборатории Окриджа сгенерировали средние СИ для матриц порядка от 1 до 15 на базе 100 случайных выборок. Как и ожидалось, СИ увеличивались с увеличением порядка матрицы. Вычисления были повторены в школе Уортона для величины случайной выборки 500 в матрицах порядка до 11х11, а далее использовались предыдущие результаты для n=12, 13, 14, 15. Ниже представлены порядок матрицы и средние СИ, определенные так, как описано выше:

0,00	0,58	0,90	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49	1,51	1,48	1,56	1,57	1,59

Отношение ИС к среднему СИ для матрицы того же порядка называется отношением согласованности (ОС). Значение ОС, меньшее или равное 0,10, будем считать приемлемым. Для идеально согласованной матрицы ОС=0, так как ИС=0.

Из таблицы для СИ видно, что матрица парных сравнений с n=2 всегда идеально согласована. Действительно, матрица А в этом случае имеет вид А = .

Найдём её собственные значения, решая соответствующее характеристическое уравнение (1-_max)²=1. Получаем ₁=0; ₂=2. То есть _max=2, следовательно, любая матрица парных сравнений 2-го порядка идеально согласована.

Если ОС>0,1, то имеется рассогласование элементов матрицы парных сравнений. И это характеризует уровень доверия к полученным результатам. Чем больше это отличие, тем меньше доверие. То есть желательно вернуться к этапу экспертных парных сравнений и постараться устранить или уменьшить рассогласование за счёт более тщательной оценки результатов парных сравнений.

Рассогласованность матрицы парных сравнений может быть вызвана, по крайней мере, двумя факторами:

• личными качествами эксперта

• степенью неопределенности объекта оценки

Таким образом, эта модификация метода парных сравнений содержит внутренние инструменты позволяющие определить качество обрабатываемых данных и степень доверия к ним. Эта особенность данной методики выгодно отличает его от большинства обычно применяемых при исследовании рынка методов.

Приближённые алгоритмы вычисления характеристик матриц парных сравнений.

Вычисление собственного значения и собственного вектора весов является достаточно трудоёмкой процедурой при n3, поэтому разработаны приближённые методы для вычисления этих основных характеристик матриц парных сравнений. Делается это следующим образом: сначала приближённо строится собственный вектор-столбец , а затем по нему ищется приближённое собственное значение _max.

Первый способ

1. Суммируем элементы каждой строки и записываем полученные результаты в столбец;

2. Складываем все элементы найденного столбца;

3. Делим каждый из элементов этого столбца на полученную сумму.

Второй способ

1. Суммируем элементы каждого столбца и записываем полученные результаты в столбец;

2. Заменяем каждый элемент полученного столбца на обратный ему;

3. Складываем элементы столбца из обратных величин;

4. Делим каждый из этих элементов на полученную сумму.

Третий способ

1. Суммируем элементы каждого столбца;

2. Делим элементы каждого столбца на их сумму;

3. Складываем элементы каждой строки полученной матрицы;

4. Записываем результаты в столбец;

5. Делим каждый из элементов последнего столбца на порядок исходной матрицы n.

Четвертый способ

1. Перемножаем элементы каждой строки и записываем полученные результаты в столбец;

2. Извлекаем корень n-ой степени из каждого элемента найденного столбца;

3. Складываем элементы этого столбца;

4. Делим каждый из этих элементов на полученную сумму.

Каждый из этих четырёх способов при применении к идеальной матрице попарных сравнений (например, веса предметов) приводит к одному и тому же точному результату. Попросить дома доказать это с идеальной матрицей для любого способа. В применении к обратносимметричной, но не согласованной матрице, ни один из предложенных способов уже не даёт собственного вектора. Полученное значение будет приближённым. Сложность вычислений возрастает с увеличением номера способа, но при этом возрастает и точность. Теперь необходимо найти собственное значение _max.

1. Вводится вектор y=A*w

2. Считая каждое из значений y₁/w₁, y₂/w₂ … y_n/w_n – приближением к искомому значению _max , выберем в качестве _max их среднее арифметическое

3. То есть полагаем: _max=(y_i/w_i)/n

Подведём итоги: заключительная часть иерархического анализа связана с обработкой сформированных матриц парных сравнений. На основе теоретически точных алгоритмов метода анализа иерархий это производится в следующей последовательности:

• С помощью собственного значения _max оценивается согласованность (степень непротиворечивости) матриц парных сравнений и в случае их приемлемой согласованности переходят к оценке весомости элементов иерархии (собственного вектора w) на основе этих матриц. Для случая плохой согласованности какой-то из матриц парных сравнений возвращаются на этап формирования этой матрицы и стараются устранить плохую согласованность элементов матрицы. Практически это всегда можно сделать, улучшив качество экспертной работы, в крайнем случае, можно рассмотреть несколько вариантов парных оценок.

• Проводится вычисление весов для элементов иерархии на основе матриц парных сравнений и итоговый расчёт весов альтернатив с учётом структуры иерархии (иногда итоговые веса называют рангами или рейтингами альтернатив).

При применении приближённых методов эти этапы меняются местами.

Пример.

Рассмотрим задачу с выбором места работы, о которой мы говорили выше. Сформируем матрицу парных сравнений по первому критерию. Пусть этот критерий – размер оплаты труда. Для трёх альтернатив он имеет следующие значения: А1 – 600 у.е., А2 – 2000у.е., А3 – 1200 у.е.

Предположим, что после беседы с ЛПР мы получили следующую матрицу парных сравнений альтернатив по первому критерию (напомнить, что матрица отражает индивидуальные предпочтения ЛПР)

К1	А1	А2	А3
А1	1	1/9	1/7
А2	9	1	5
А3	7	1/5	1

Сначала решим точным методом в EXCEL. Вспомним функцию подбор параметра, которая даст возможность подобрать max. Используем функцию МОПРЕД(А - *Е). За начальное значение  примем 3,00 (с учётом размерности матрицы), а значение функции по определению собственного значения должно равняться 0. После вычислений получим следующую картинку в EXCEL.

К1	А1	А2	А3
А1	-2,21	0,11	0,14
А2	9,00	-2,21	5,00
А3	7,00	0,20	-2,21
lмах	3,20843
Функция		0,00045517
ис	0,10421471
ос	0,17968054

Индексы согласованности для найденного значения ИС=0,10423 – вычисления (3.20843-3)/2 и ОС=0.17971 (вспомнить, как вычисляется), то есть матрица плохо согласована. Собственный вектор вычисляется по формулам w1=/D; w2=((-1)a23+a13/a12)/D; w3=((-1)2-1)/D где =a12*a23+a13*(-1); D= a12*a23+a13 *a23*(-1)+ a13/a12*(-1)2-1; После вычислений и нормирования (вспомнить, как нормируем через деление на сумму) получаем три значения собственных весов: 0,051;0,722;0,227.

Улучшить согласованность матрицы в нашем случае можно взяв в качестве элементов матрицы отношения уровней зарплат для соответствующих мест работы.

К1	А1	А2	А3
А1	1	1/3	1/2
А2	3	1	1,5
А3	2	2/3	1

Элементы этой матрицы сложнее интерпретировать в рамках универсальной шкалы сравнений (в реальности зарплаты могут отличаться в несколько раз больше), но зато она идеально согласована. max=3, а нормированные веса 0,167; 0,500; 0,333.

Можно попробовать использовать более взвешенную матрицу сравнений на основе универсальной шкалы

К1	А1	А2	А3
А1	1	1/7	1/5
А2	7	1	3
А3	5	1/3	1

Для этой матрицы max=3006489, индексы согласованности ИС=0,0324 и ОС=0.05594, то есть близка к идеальной. Вывод: для количественных критериев иногда лучше рассматривать их идеальные матрицы, а для качественных плохо согласованных оценок проводить уточнения у ЛПР соотношений значимости. На практическом занятии посчитать собственный вектор и собственное значение всеми предложенными приблизительными способами.

Перечислим основные этапы решения проблемы, связанные с применением метода анализа иерархий:

1. Постановка проблемы и представление этой проблемы в виде некоторой иерархии (альтернативы решения проблемы, критерии оценки и т.д.)

2. Сбор исходной информации и её предварительная оценка путём реализации процедур парного сравнения элементов для каждого уровня рассматриваемой иерархии относительно вышестоящих элементов

3. Обработка результатов парного сравнения элементов иерархии: оценить согласованность полученной информации и для согласованных матриц вычислить веса элементов иерархии

4. На основе полученных весов и с учётом структуры иерархии вычислить результирующие веса альтернатив, то есть веса альтернатив относительно фокуса иерархии, что даёт возможность ЛПР принять обоснованное решение.

Привести пример с выбором места работы, как будет вычисляться общий вес альтернативы: нормированный вес по каждому критерию для заданной альтернативы умножается на нормированный вес самого критерия, а затем результаты складываются. Процесс вычисления общего веса альтернатив можно записать в матричной форме:

W_{А – ПР}= W_{А – К} * W _{К– ПР}, где W_{А – ПР} - вектор весов альтернатив относительно ПР, W _{К– ПР} - вектор весов критериев относительно ПР, W_{А – К} - матрица весов альтернатив по критериям. Эта формула легко обобщается на любое число уровней, в правой части появляются дополнительные множители, соответствующие ещё одному уровню. Рассмотреть пример с кандидатами на работу, которых оценивают два специалиста. Записать без матриц, как будет выглядеть формула для вычисления веса кандидата с учётом весов специалистов, дающих оценку.

Выводы.

1. Преимуществом метода анализа иерархий над большинством существующих методов оценивания альтернатив является чёткое выражение суждений экспертов и ЛПР, а также ясное представление структуры проблемы: составных элементов проблемы и взаимосвязей между ними.

2. Иерархия называется полной, если между элементами соседних уровней имеются все возможные связи. Анализ неполных иерархий можно свести к анализу набора соответствующих полных иерархий.

3. Элементы каждого уровня иерархии сравниваются попарно по отношению к их воздействию на общую для них характеристику (вышестоящий элемент иерархии). Результаты представляются в виде обратносимметричной матрицы. Элементом матрицы является интенсивность предпочтения элемента иерархии с номером строки по сравнению с элементом иерархии с номером столбца.

4. Основная шкала измерения результата попарного сравнения: 1 – равенство сравниваемых элементов по отношению к вышестоящему, 3 – слабое предпочтение, 5 – предпочтение, 7 – сильное предпочтение, 9 – абсолютное предпочтение.

5. Способы получения информации от эксперта (ЛПР) соответствуют психологически комфортным условиям, соответствующим возможностям человека (попарное сравнение). Есть возможность оценить согласованность суждений и перепроверить суждения либо рассмотреть несколько вариантов парных оценок.

6. Процесс вычисления общего веса альтернатив можно записать в матричной форме: WА – ПР= WА – К * W К– ПР, где WА – ПР - вектор весов альтернатив относительно ПР, W К– ПР - вектор весов критериев относительно ПР, WА – К - матрица весов альтернатив по критериям. Эта формула легко обобщается на любое число уровней, в правой части появляются дополнительные множители, соответствующие ещё одному уровню.

7. Любые соотношения меду вариантами решения легко интерпретируются на основе информации, полученной от экспертов. Для сложных проблем с наличием конфликтных ситуаций в группе экспертов возможно построение двух иерархий для отображения выгод и издержек, связанных с рассматриваемыми альтернативами по проблеме.

8. Метод анализа иерархий может использоваться в решении следующих проблем: оценка сырья, продуктов и оборудования в технологиях производства; оценка качества работы предприятий и определение политики инвестиций; выбор мест размещения предприятий (социолого-экономические аспекты); распределение материальных ресурсов с анализом по методу «стоимость – эффективность», оценка качества организационных, проектных и конструкторских решений; оценка качества специалистов, методов и средств их подготовки.

7. Основы анализа и принятия групповых решений

Проблема коллективного выбора - одна из наиболее интересных в теории принятия решений. Общая постановка задачи, связанной с коллективным выбором , формулируется следующим образом. Существует группа участников процесса принятия решения, каждый из которых имеет свои предпочтения на множестве выделенных альтернатив. Требуется построить упорядоченние множества альтернатив, отражающее мнение всей группы в целом; то есть требуется выработать некоторое совокупное мнение на основе индивидуальных мнений участников ППР.

Дадим несколько определений.

Группа – это совокупность людей (не менее двух человек), непосредственно взаимодействующих и объединённых общей целью и общими нормами поведения. Цель может быть навязана извне или сформулирована самой группой. Взаимодействие происходит в процессе обмена членов группы взглядами. Способ общения членов группы определяется порядком исполнения общих задач. Члены группы могут быть руководителями и рядовыми членами, экспертами и исполнителями. Отношения между членами группы образуют групповую структуру.

Для общественной жизни характерно, что групповые решения, как правило, имеют лучшие характеристики по сравнению с индивидуальными, так как

1. Они более рациональны (менее субъективны);

2. Они демократичнее (члены коллектива разделяют ответственность за избранные варианты действий);

3. Они повышают вероятность осуществления принятого решения.

Рациональность принимаемых группой решений определяется следующими факторами: характер задач (зная параметры задачи можно сказать, какая из них будет лучше решаться группой, а не отдельным индивидом, попробовать привести примеры); характеристика группы (коллективы с разной численностью, например, не с одинаковой эффективностью решают задачи); процедура деятельности группы (формальная, неформальная с обсуждением и т.д., лучший вариант выбирается в ходе дискуссии).

Правила выбора решения в случае коллективного ППР.

Рассмотрим существующие правила выбора решения. Пусть каждый участник процесса коллективного выбора даёт то, что называется ранжировками объектов (альтернатив). Пусть есть множество альтернатив А={а,б,в,г} и множество N участников ППР. Каждый построил свою ранжировку, распределив альтернативы по степени предпочтений. Набор ранжировок, выражающих мнения членов группы, представленный в виде матрицы определяет групповой профиль. Например,

Уч1	Уч2	Уч3	…
а	а	а	…
б	в	в	…
в	б-г	г	…
г		б	…

Задача: по групповому профилю построить итоговую (результирующую) ранжировку.

Правило Кондоросе

В 18 веке во Франции математик первый заинтересовавшийся системами голосования маркиз Жан Антуан де Кондоросе (1743 -1794) предложил следующий вариант решения задачи. Для каждой пары альтернатив вычисляется число экспертов, которые предпочли первую второй альтернативе из пары. Сравниваются результаты и выбирается альтернатива, которая имеет максимальное число предпочтений. Если некоторая альтернатива лучше всех остальных в указанном смысле, то она называется альтернативой Кондорсе. Принцип Кондорсе: кандидат, который побеждает при сравнении один на один с любым из других кандидатов, является победителем на выборах.

Пример. Чтобы не записывать большие профили, приведём результат подсчёта голосов при сравнении трёх альтернатив. Из комбинаторики знаем, что количество перестановок элементов множества мощность n равно n!, то есть возможно всего 6 комбинаций. (возможно привести пример для группы из трёх голосующих и трёх альтернатив последовательно переставляя элементы для каждого: абв, бва, ваб и случай, когда есть явное предпочтение одного).

Число голосов	Предпочтения
23	АВС
17	ВСА
2	ВАС
10	САВ
8	СВА

Сравним предпочтения по отношению к парам кандидатов, берём А и С, А предпочитают 23+2=25, С предпочитают 17+10+8=35. Следовательно, С предпочтительнее А по воле большинства. Сравниваем А и В, затем В и С; В предпочтительнее С (42 против 18), С предпочтительнее А (35 против 25) и А предпочтительнее В (33 против 27). Пришли к противоречию, к нетранзитивному отношению. Этот парадокс назвали парадоксом Кондорсе. Парадокс не возникает в случае, когда есть явное предпочтение одного из кандидатов. Столкнувшись с этим парадоксом Кондорсе выбрал способ большинство голосов, поставивших на первое место.

Правило большинства.

Поменяем значения в предпочтениях, чтобы избежать парадокса Кондоросе.

Число голосов	Предпочтения
23	АВС
19	ВСА
2	САВ
16	СВА

Если применить правило: большинство голосующих, которые назвали этого кандидата лучшим, то побеждает А, хотя он не набрал абсолютного большинства голосов.

Но если воспользоваться правилом Кондорсе, то избран должен быть С, так как он побеждает двух кандидатов при попарном сравнении. То есть, при демократической системе голосования (один человек – один голос) выбор победителя зависит от выбора процедуры голосования.

Правило Борда.

Согласно этому методу, результаты голосования выражаются в виде числа баллов, набранных каждым кандидатом. Пусть число альтернатив равно m. Тогда за первое место присуждается m баллов, за второе m-1 и т.д., за последнее 1 балл. Посчитаем баллы для первой и второй таблицы.

Для первой таблицы: А – 23*3+17*1+2*2+10*2+8*2=126 В – 2*23+19*3+10*1+8*2=129; С – 23*1+17*2+2*1+18*3=113 – то есть победитель В. Видно противоречие с правилом Кондорсе.

Для второй таблицы (попросить самих посчитать): А – 108; В – 114; С – 138, то есть победитель С.

Но тоже есть затруднения, если в таблице

Число голосов	Предпочтения
31	А С  В
12	ВСА
17	С ВА

Посчитать баллы, то победителем надо объявить С, однако абсолютное большинство голосов отдано за А (31 из 60).

Если построить матрицу парных сравнений для вариантов А, В, С, то окажется, что в случае парадоксов эта матрица будет не согласована (проверить).

Правило (подход) Кемени.

Рассматривают ранжировки и рассчитывают расстояние между ними, это так называемое расстояние Кемени – полусумма модулей разностей рангов альтернатив в ранжировках, расстояние между которыми измеряется. Посчитаем расстояние Кемени между первой и второй ранжировками (строками) в последней таблице. Для А – 2, для В – 2, для С - 0, следовательно, расстояние Кемени равно 2. Для второй и третьей – 1.

Для получения согласованного группового мнения имеем следующую задачу: по данному профилю найти ранжировку с наименьшим расстоянием от всех ранжировок этого профиля. Такой подход приводит к линейной оптимизационной задаче (задаче поиска минимума суммы расстояний до всех профилей от искомой), которая принципиально сложнее простых расчётов по правилам Кондорсе и Борда.

Однако парадоксы голосования сохраняются и при этой процедуре. Даже введение двух туров не избавляет от парадоксов. Рассмотрим следующую таблицу

Число голосов	Предпочтения
23	АВС
17	ВСА
2	В  А С
10	С А  В
8	СВА

В соответствии с предпочтениями получаем, что во второй тур выходят А и В, после чего побеждает А (видно из 2 последних строк таблицы) Однако при небольшом усилении первоначальной позиции А за счёт третьей строки (поменяли А и В местами), во второй тур выходят А и С, после чего побеждает С. Такой результат явно противоречит здравому смыслу.

Число голосов	Предпочтения
23	АВС
17	ВСА
2	А  В С
10	САВ
8	СВА

Возможны и другие системы голосования: многотуровый выбор с вычёркиванием кандидатов, набравших наименьшее число голосов, система вычёркивания нежелательных кандидатов и т.д. Проблема, однако, состоит не в том, что имеется много способов получения результатов голосования, а в том, что ни один из них (причём речь идёт не только о разработанных и предложенных схемах, но и о любых теоретически возможных) не является логически непротиворечивым.

Систематическое исследование всех систем голосования провёл в 1951 году американский экономист и математик Кеннет Эрроу. Он поставил задачу в наиболее общем виде: можно ли создать такую систему голосования, чтобы она была одновременно рациональной (без противоречий), демократической (один человек – один голос) и решающей (позволяла осуществлять выбор). Эти требования называются аксиомами. Эрроу доказал, а после него появились ещё множество доказательств, теорему о невозможности.

В наиболее краткой форме теорема выглядит так.

Предполагается, что процедура проведения голосования и определения победителя обладает следующими свойствами (аксиомы).

Аксиома универсальности. Схема подсчёта должна давать логичные результаты при любых логически возможных вариантах голосования участников.

Аксиома единогласия. Если каждый из участников голосования в своей ранжировке ставит альтернативу А выше альтернативы В, то в итоговой ранжировке альтернатива А также должна быть выше альтернативы В.

Аксиома независимости от несвязанных альтернатив. Относительное положение в итоговой ранжировке двух альтернатив А и В зависит только от их относительного положения в индивидуальных ранжировках участников голосования. Это значит, что , если, например, ряд участников голосования пересмотрели свои суждения по поводу относительной предпочтительности 3-й и 5-й альтернатив, это не должно сказаться на положение в итоговом списке 1-й и 4-й. Это же относится и к исключению какой-либо альтернативы из списка анализируемых. (Вспомнить, где мы ещё встречались с независимостью по предпочтению).

Аксиома транзитивности. Итоговая ранжировка является транзитивной, то есть если в ней альтернатива А предпочтительнее альтернативы В, а В предпочтительнее С, то это с необходимостью означает, что А предпочтительнее С.

Аксиома отсутствия диктатора. Диктатор – это такой участник голосования, который меняя строгое предпочтение одной альтернативы на другую, тем самым меняет относительное положение этих альтернатив в итоговой ранжировке. Данная аксиома требует, чтобы в разумно организованной системе подсчёта такая ситуация была исключена, поскольку такой диктатор получает необоснованно большую власть при принятии решения, что нарушает принцип справедливости.

Требования аксиом представляются весьма логичными и даже естественными. Тем более парадоксально, что справедливо следующее утверждение: любая схема подведения итогов голосования, удовлетворяющая аксиомам единогласия, независимости от несвязанных альтернатив и транзитивности, приводит к существованию диктатора. Это и есть теорема Эрроу.

Приведём одно из доказательств этой теоремы, принадлежащее Джону Джинакоплосу.

Опираясь на аксиому универсальности, Джинакополос конструирует специальную ситуацию при голосовании, которая приводит к противоречию (схоже с доказательством от противного). Пусть имеется такая альтернатива В, что часть участников ставят её на первое место, а остальные на последнее. Докажем, что эта альтернатива в итоговой ранжировке не может оказаться на промежуточной позиции: она должна быть либо первой , либо худшей (последней), даже в случае, когда мнения по поводу этой альтернативы разделились поровну. Докажем от противного. Предположим, что В занимает в итоговой ранжировке промежуточное положение. Это значит, что существуют некоторая альтернатива А, стоящая выше в итоговом списке, и альтернатива С, стоящая ниже (насколько ниже и выше неважно). Предположим, что каждый участкник выбора изменил свои предпочтения так, что теперь для каждого участника С стала предпочтительнее А. В силу аксиомы единогласия и в итоговой ранжировке С должна стать предпочтительнее А.

В то же время поскольку альтернатива В занимает в индивидуальной ранжировке каждого участника крайнее положение, то её положение относительно А и С в индивидуальных ранжировках не изменится, и в силу аксиомы независимости от несвязанных альтернатив альтернатива В будет по-прежнему хуже или лучше и альтернативы А, и альтернативы С. То есть по-прежнему А будет лучше В, а В лучше С. В силу транзитивности итогового ранжирования, это означает, что А по крайней мере не менее предпочтительна, чем С. Получили противоречие. Это доказывает, что альтернатива В обязательно занимает в итоговой ранжировке одну из крайних позиций.

Пусть теперь альтернатива В – самая худшая для каждого из участников. В силу аксиомы единогласия она на последнем месте и в итоговой ранжировке. Станем последовательно изменять индивидуальные ранжировки участников голосования начиная с первого таким образом, чтобы альтернатива В занимала не последнее, а первое место. При этом каждый раз будем подводить итоги голосования и смотреть итоговую ранжировку. Рано или поздно наступит момент, когда при изменении индивидуальной ранжировки n-го участника голосования изменится итоговая ранжировка. Это произойдёт вследствие аксиомы единогласия: ведь если все будут считать альтернативу В самой лучшей, она обязана быть на первом месте в итоговой ранжировке (мы доказали ранее, что она занимает одну из крайних позиций при условии, что у всех на первом или последнем месте). При изменении индивидуальной ранжировки этого n-го участника произойдёт радикальное изменение позиции альтернативы В: она переместится в итоговой ранжировке на первое место. Групповой профиль до изменения мнения n-го участника назовём профилем 1, а сразу после изменения – профилем 2. Для профиля 1 альтернатива В на последнем месте, а для второго на первом. В этом случае участник с номером n является диктатором.

То есть совершенной системы подведения итогов голосования не существует, хотя неприятности возникают в особенных специальных случаях. По результатам исследований французов обеспечить совмещение всех аксиом не удаётся лишь не более, чем в 10% случаев, при компьютерном моделировании распределений голосов участников.

Все последующие годы математики и экономисты предпринимают попытки изменить требования Эрроу, «смягчить» аксиомы, чтобы избежать вывода, столь неприятного для демократической системы голосования.

Д. Блейер в 1983 году предложил следующее, если каждый избиратель упорядочивает кандидатов в соответствии со своей политической позицией, то вывода Эрроу можно избежать. Однако на практике при оценке кандидата избиратели чаще всего руководствуются многими критериями. Далеко не все избиратели понимают свою политическую позицию. Результаты голосования, основанного на эмоциях, широко известны.

Другое изменение было предложено в 1993 году А.Сеном. Он предложил изменить аксиому транзитивности, сохранив правило транзитивности только для строгого предпочтения между кандидатами. Согласно правилу А.Сена, если хотя бы один избиратель сравнивает кандидатов А и В по-иному, чем все остальные, то система голосования объявляет их эквивалентными. Такое правило приводит к коллективному безразличию.

Кроме математических ограничений, более существенную роль в искажениях при голосовании играют такие вещи, как промывка мозгов, подтасовки и т.д.

7. Консультативные фирмы и методы их работы.

Принятие решений не сводится только к принятию индивидуальных решений и голосований в больших аудиториях.

Решения принимаются комиссиями, жюри, коллегиями, то есть малыми группами. Возникает вопрос, как организовать работу группы, как прийти к соглашению, если люди имеют разные предпочтения?

Малая группа (ГПР) – это небольшая совокупность людей (от 2 до 7), имеющая такую структуру управления, которая позволяет определять меру контроля поведения одних членов группы со стороны других.

Очень часто имеет место несимметричная информированность участников переговоров по существу вопроса. Например, обсуждается вопрос о приобретении компании А или В советом директоров, состоящим из 3 человек. Имеется 6 примерно равных по силе аргумента в пользу приобретения компании А, но каждый из членов совета знает только о двух (равномерно распределены по членам совета), и 3 такой же силы аргумента в пользу приобретения компании В, но о них всех 3 известно каждому из директоров. Если выбрать простое голосование, то решение будет принято в пользу В, так как каждому кажется, что оно эффективнее, хотя объективно лучше А. То есть имеется скрытый профиль информации и её асимметричное распределение, необходимо обсуждение. Но если обмен информацией будет асимметричным, то это может не привести к желаемым результатам.

Преимущества совместного обсуждения (совещания):

• Возможность для каждого из членов ГПР высказать своё мнение и обосновать его

• Возможность для каждого члена ГПР выслушать мнение всех других членов.

Недостатки:

• Чрезмерное влияние на ГПР доводов одного или нескольких членов ГПР, направленных на выпячивание положительных особенностей предпочитаемого решения;

• Большая и неэффективная трата времени членами ГПР при сильном расхождении мнений у некоторых из них;

• Поспешное применение правила большинства, не позволяющего учесть мнения всех членов ГПР.

Рассмотрим эти особенности на нашем примере с советом директоров. Какие эффекты могут препятствовать принятию разумного решения.

1. Эффект «фокуса на переговорах о предпочтениях». Любая группа оказывает социальное воздействие на членов, в следствии этого человек, узнав о взглядах других членов группы меняет свои предпочтения и мнение. Если влияние нормативное , то члены группы, придерживающиеся мнения отличного от доминирующего, имеют тенденцию к его изменению, поскольку хотят доставить удовольствие другим, получить общественное одобрение или избежать отторжения со стороны других. В этом случае в ходе обсуждения члены группы фиксируют свои усилия не на получении новой информации, а на выяснении позиции большинства, к которому они могли бы присоединиться при голосовании. Это и есть «фокус на переговорах о предпочтениях». Лучше, когда влияние в группе преимущественно информационное, каждый стремится получить от других дополнительную информацию, чтобы на её основе сформировать своё собственное мнение, не зависимое от мнений (но не от информации!) других.

Опросы выявили, что наиболее часто этот эффект проявляется в следующих случаях:

1. Большое число вопросов в повестке дня;

2. Формулировка пунктов в повестке дня не как поиск решения проблемы, а как выяснение суждений по определённым вопросам.

2. Эффект «искажения в процессе дискуссии» проявляется в том, что общая, разделяемая всеми членами группы информация, как правило, чаще упоминается первой в ходе обсуждения («искажение первого упоминания») и затем чаще повторяется («искажение повторения»). Эффект проявляется особенно часто при сокращении времени на дискуссию (чем дольше обсуждение, тем больше шансов , что кто-либо из участников выскажет не разделяемую другими информацию). Кроме того, участники чаще приводят информацию, подтверждающую их предпочтения, а не противоречащую им.

3. Эффект «искажения индивидуальных оценок». Есть следующие разновидности: «искажение владельца» означает, что каждый участник в большей мере доверяет своим суждениям, чем чужим. Если представляет один из участников сведения, разделяемые другими, то они это подтверждают, то есть происходит «социальная валидация» этой информации, она будет восприниматься, как более ценная. Вторая разновидность: «эффект устойчивых предпочтений» означает, что получаемая информация оценивается человеком по-разному, в зависимости от его предпочтений.

Из этого следуют следующие выводы:

1. При проведении групповых обсуждений проблем следует воздер следует просить участников группы воздержаться от формулирования собственной позиции по рассматриваемому вопросу до тех пор, пока руководитель дискуссии не сочтёт, что вся имеющаяся у членов группы информация была представлена. Члены группы должны быть ориентированы на то, что задача их состоит не в том, чтобы убедить других в своей правоте, а в том, чтобы привнести в дискуссию новую информацию.

2. Обсуждение должно быть достаточно длительным для того, чтобы появился шанс на представление не разделяемой всеми информации (она обычно появляется позже, чем разделяемая).

3. Председательствующий должен стараться выявлять «неразделяемую» информацию и постоянно к ней возвращаться. Этому способствует фиксация всей информации на доске (или другой наглядный способ фиксации). Полученный список будет побочным продуктом попытки ранжировать все предложенные альтернативы.

4. Председательствующий должен поощрять участников к истребованию от других именно фактов, а не мнений.

5. Полезным является разделение проблемы на подпроблемы и формирование подгрупп для работы над ними. Каждая группа критически анализирует информацию по своей подпроблеме, а решение принимается в полном составе.

6. Разделение функций подготовки информации для принятия решения является исключительно важным шагом, так как критериями оценки работы становится полнота информационного набора, а не выработка конкретного вариант, что снижает действие фактора «фокус на переговорах о предпочтениях»

Для повышения эффективности вырабатываемого в малых группах решения после многих исследований были выделены следующие направления :

Неантагонистические игры. Одно из направлений в теории игр, ориентированное на разработку математических моделей, описывающих процесс выработки компромисса, - поиск точек равновесия. Работы в этом направлении имеют, как правило, чисто теоретический характер.

Групповые системы поддержки принятия решений. Разрабатываются локальные сети для членов ГПР, а также формальные алгоритмы сравнения предпочтений на заданном множестве объектов. Как правило, системы поддержки принятия решений предназначены для ознакомления каждого из членов ГПР с мнениями других. Задача согласования мнений членов ГПР либо не ставится, либо сводится к усреднению мнений. С практической точки зрения данный подход не соответствует задачам принятия ответственных решений.

Организация работы ГПР с помощью посредника (аналитика, консультанта). Это направление с практической точки зрения является наиболее перспективным. Яркий пример – конференции по принятию решений. Первыми занялись организацией и проведением подобных конференций С. Камерер (США) и Л. Филипса (Англия): они разработали методологические основы и получили хороший практический результат.

Появилась новая профессия – консультант по принятию решений. Первые консультативные фирмы появились после Второй мировой войны для анализа сложных вариантов решений. Сейчас в США существуют десятки таких фирм. Например, «Гудзонский институт», «Мак-Кинси» и др. В Европе – SEMA (Франция) и т.д.

Консультативные фирмы производят принципиально новый продукт – краткий отчёт с идеями и предложениями, как правило, предназначенными для индивидуального заказчика.

Практики склонны переоценивать роль конкретных особенностей своей проблемы. Но при решении проблем из различных областей встречаются одинаковые моменты.

Эта похожесть ведёт за собой ряд методологических правил анализа проблем и предопределяет выбор специальных методов, помогающих руководителям проводить такой анализ.

Вторая причина важности применения опыта консультативных фирм: при анализе сложных проблем может быть очень важен взгляд со стороны, взгляд независимых людей, не связанных с традициями данной организации и по своему положению менее консервативных. Даже если нужные идеи возникают у подчинённых, то они не всегда адекватно воспринимаются начальством (нет пророка в своём отечестве), тоже предложение консультанта будет воспринято совсем по другому.

В связи с этим талантливый аналитик, попавший в консультативную фирму , со временем может стать очень ценным источником полезных советов.