2. Теория расписаний

Теория расписаний (ТР) является частью исследования операций. ТР исследует задачи, в которых необходимо упорядочить или, другими словами, определить последовательность выполнения совокупности работ, использования каких-либо средств и т.д.

Задачи упорядочения носят самый общий характер. Они возникают там, где существует возможность выбора той или иной очередности выполнения работ: при распределении работ на производстве, составлении расписания приземления самолетов, составлении расписания движения поездов, обслуживании клиентов в обслуживающих системах и т.д.

Результаты, к которым приводит то или иное упорядочение, существенно отличаются. В ряде практических случаев эти различия принимают стоимостной характер или определяются какой-либо другой величиной.

В теории расписаний рассматриваются задачи упорядочения при условии, что решены все вопросы, относящиеся к тому, что и каким образом должно быть выполнено. При этом предполагается, что не существует зависимости между характером этих решений и устанавливаемым порядком, т.е. характер работ не зависит от их последовательности выполнения. Кроме этого, предполагается следующее:

1) Подлежащие выполнению работы определены и известны полностью. Предполагается, что все заданные работы должны быть выполнены.

2) Однозначно определены устройства, выделяемые для выполнения заданных работ.

3) Задана совокупность всех элементарных действий, связанных с выполнением каждой из работ, и ограничений, налагаемых на порядок их выполнения. Известно также, каким образом осуществляются эти действия и что существует, по крайней мере, по одному устройству, способному выполнить каждое из них.

Основным понятием теории расписаний является понятие операции. Операцию можно рассматривать как элементарную задачу, подлежащую выполнению. Каждая операция характеризуется

1) индексом принадлежности к определенной работе,

2) индексом принадлежности к определенной машине,

3) числом, представляющим собой длительность операции.

По первому индексу все множество операций разбивается на систему непересекающихся подмножеств, называемых работами. Разбиение исходного множества по второму индексу приводит к взаимно непересекающимся подмножествам операций, относящихся к определенным машинам.

Для каждой работы задается последовательность составляющих ее операций (определяемая технологическим процессом). Такое частичное упорядочение операций осуществляется заданием отношения порядка. Если операция X должна быть осуществима раньше, чем Y, то говорят, что X предшествует Y. Это записывается в виде: X<Y или Y>X. Отношение порядка транзитивно: если X<Y, Y<Z, то X<Z. Будем говорить, что операция X непосредственно предшествует операции Y и записывать X<<Y или Y>>X, если X<Y и нет операции Z, такой, что X <Z<Y.

Машиной будем называть устройство, способное выполнить все, что связано с некоторой операцией, системой обслуживания - множество всех машин, используемых для выполнения некоторого множества операций. Совокупность машин, работ (операций) и дисциплин назначения операций соответствующим машинам называется процессом обслуживания.

Составление расписания для процесса обслуживания означает, что для каждой операции на временной оси задается участок, когда эта операция должна выполняться соответствующей машиной, т.е. что для каждой операции задается один или более интервалов таких, что

• - равно длительности операции;

• число - значение , относящееся к X, не меньше, чем для двух операций X и Y относящихся к одной работе и таких, что ;

• каждый из интервалов расположен целиком внутри одного из отрезков времени доступности соответствующей машины.

Т.о. составление расписания может рассматриваться как задача упорядочения операций, выполняемых каждой машиной.

Почти вся теория, разработанная в настоящее время, относится к ограниченному числу моделей простого процесса обслуживания. Под последним понимается процесс, для которого существенны следующие ограничения:

1) Каждая машина может быть назначена в любой момент времени, т.е. запрещены перерывы в работе машины. Каждая машина формально представляет собой интервал (0, Т), где Т есть произвольно большое число.

2) Работы представляют собой строго упорядоченные последовательности операций. Для заданной операции X существует не более одной операции Y такой, что , и одной операции Z такой, что .

…

3) Каждая операция выполняется только одной машиной.

4) Существует только по одной машине каждого типа. Между номерами машин и вторыми индексами операций, указывающими номер выполняющей их машины, существует взаимно однозначное соответствие.

5) Отсутствуют прерывания операций. Для каждой операции задан единственный интервал , причем длительность операции равна .

6) Интервалы выполнения последовательных операций одной и той же работы не пересекаются. Величина , соответствующая назначению операции X, не может быть меньше для любой операции Y такой, что .

7) В каждый момент времени машина может выполнять не более одной операции.

Перечисленные ограничения, с одной стороны, упрощают формализацию, а с другой, делают ее более абстрактной. Последнее приводит к тому, что модель становится неадекватной практическим случаям, где требуется ослабление одного или нескольких из приведенных ограничений. Тем не менее, такая модель сохраняет в основном структуру большинства практических задач, а при ее исследовании вырабатывается интуиция, полезная в многочисленных приложениях. Во всяком случае, в настоящее время описанная формализация применяется в большинстве исследований.

Задача

В торговом зале необходимо выставить для продажи товары Т1 и Т2. Рабочее время продавцов не превышает 340 часов, а площадь торгового зала, которую можно занять, не превышает 120 м². Каждая реализованная единица товара приносит прибыль соответственно в 50 и 80 ден. ед. Нормы затрат ресурсов на единицу проданного товара составляют:

Ресурсы	Т1	Т2
Рабочее время, ч	0,4	0,6
Площадь, м2	0,2	0,1

Найти оптимальную структуру товарооборота, обеспечивающую прибыль не менее 30 000 ден. ед.

1. Переменные:

Т1- количество товара Т1

Т2 – количество товара Т2

2. Функция цели:

f(x) = Т1 + Т2 => min

3. Ограничения:

Рабочее время: 0,4Т1+0,6Т2 ≤ 340

Площадь: 0,2Т1+0,1Т2 ≤ 120

Прибыль: 50Т1+80Т2 ≥ 30000

Т1≥0, Т2≥0

Т1 и Т2 – целые

Вывод: для того, чтобы обеспечить оптимальную структуру товарооборота, необходимо выставить 375 товаров Т2. Прибыль составит 30000 ден. ед.

	Т1	Т2		Ограничение
Рабочее время	0,4	0,6		340
Площадь	0,2	0,1		120
Прибыль	50	80		30000
Переменные
Т1	Т2
0	375
Ограничения
Рабочее время	225
Площадь	37,5
Прибыль	30000
Функция	375

Графический метод.

0,4Т1+0,6Т2 = 340

Т1=0 Т2=567

Т1=850 Т2=0

0,2Т1+0,1Т2 = 120

Т1=0 Т2=1200

Т1=600 Т2=0

50Т1+80Т2 = 30000

Т1=0 Т2=375

Т1=600 Т2=0

50Т1+80Т2 = 30000

Т1 = 0

Т2= 30000/80 = 375

12