
Ответы:
1. а)
,
б)
,
в)
или
.
2. катет –
,
гипотенуза
или
.
3.
,
,
.
4.
.
5. (1, 5), (3, 7).
6.
.
7. 1)
,
,
,
2)
,
,
,
.
8.
,
,
.
9. 1) окружность с
центром в полюсе и радиусом 25. 2) луч,
выходящий из полюса, наклоненный к
полярной оси под углом
.
3) прямая, перпендикулярная к полярной
оси, отсекающая на ней считая, от полюса,
отрезок
.
4) прямая, расположенная в верхней
полуплоскости, параллельная полярной
оси, отстоящая от нее на расстоянии
равном 14. 5) окружность с центром
и радиусом 20. 6) окружность с центром
и радиусом 30. 10. гипербола
,
,
,
,
.
11.
.
,
,
,
12.
.
13. эллипс: б) в)
.
14. а) –3, б) –36, в) –12, г) –2. 15.
.
16.
.
17.
,
,
,
.
18. 4. 19. 5. 20.
.
21.
.
22.
.
23.
,
.
24.
кв. ед.,
.
25.
.
26.
.
27. –12. 28. точки лежат в одной плоскости.
29.
куб. ед. 30. 18. 31.
.
32.
.
33.
.34.
.
35.
.
36.
.
37.
.
38.
.
39.
.40.
.
41.
.
42.
.
43.
.
44.
.
45. 1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
.
47.
,
.
48.
,
где
.
49.
,
,
,
.
50. а)
,
б)
.
51.
,
,
.
52. а) да, б) нет. 53.
.
54. да. 55. а) отражение трехмерного
пространства относительно начала
координат, б) проектирование трехмерного
пространства на ось
с
последующим отражением относительно
начала координат. 56. Оператор
линейный;
–его матрица в
базисе
,
,
,
.
57.
,
,
.
58. Собственные
значения:
,
,
,
собственные векторы: для
,
где
,
одновременно не равные нулю; для
,
где
.
Вариант №19
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ: ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ; ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ; ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ
1. Найти уравнение прямой, которая проходит через начало координат и:
а) параллельна
прямой
;
б) перпендикулярна прямой
;
в) образует угол в
с прямой
2. В равнобедренном
прямоугольном треугольнике даны
координаты вершины острого угла (1,3)
и уравнение противолежащего катета:
.
Составить уравнения двух других сторон
треугольника.
3. Даны середины
сторон треугольника
,
,
.
Составить уравнения его сторон.
4. Даны вершины треугольника А(–3, –4), В(–1, 0), С(1, 2). Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану треугольника АВС, проведенную из вершины В.
5. Отрезок, ограниченный точками А(–4, –7) и В(2, –1), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.
6. Даны уравнения
двух сторон треугольника
и
.
Найти уравнение третьей стороны, если
известно, что медианы этого треугольника
пересекаются в точкеР(5,
6).
7. Даны две смежные стороны квадрата А(1, –4) и В(–2, 0). Составить уравнение его сторон.
8. Точка Е(–1,
–4) является
центром квадрата, одна из сторон которого
лежит на прямой:
.
Составить уравнения прямых, на которых
лежат остальные стороны квадрата.
9. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):
а);
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
10. Установить,
какая линия определяется уравнением
.
Найти координаты ее центра, полуоси,
эксцентриситет. Сделать чертеж.
11. Составить
уравнение эллипса и найти координаты
его центра, полуоси, эксцентриситет,
если известно, что левый фокус эллипса
находится в правой вершине гиперболы:
,
при этом один из концов большой оси
эллипса находится в точке(5,
–1), а другой
– в вершине параболы
.
12. Составить
уравнение линии, для каждой точки которой
расстояние от точки А(4,
–2) вдвое меньше
расстояния от прямой
.
Определить, какая это линия; сделать
чертеж.
13. Линия задана
уравнением
в полярной системе координат.
Требуется: а)
построить линию по точкам, начиная от
до
и придавая
значения через промежуток
;
б) найти уравнение данной линии в
декартовой прямоугольной системе
координат, у которой начало совпадает
с полюсом, а положительная полуось
абсцисс – с полярной осью; в) по полученному
уравнению определить, какая это линия.
Определители. Базис в пространстве. Координаты вектора
14. Вычислить определители:
а) по правилу треугольника;
б) разложением по элементам первой строки;
в) разложением по элементам второго столбца;
г) сведением к треугольному виду:
а)
,
б)
,
в)
,
г)
.
15.
Даны векторы:
1=(1,
1, 1);
2=(2,
–3, 4);
3=(–3,
1, –2);
=(0,
–7,
8)
в некотором базисе. Показать, что первые
три вектора сами образуют базис и найти
координаты вектора
в этом базисе.
3. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
16. Найти координаты
единичного вектора (орта)
,
сонаправленного с вектором
=(1,
–1, –3).
17. Два вектора
=(–3,
4, 0) и
=(2,
–6, 3) приложены
к одной точке. Найти координаты:
а) ортов
и
векторов
и
;
б) вектора
+
;
в)
вектора
,
направленного по биссектрисе угла между
векторами
и
при условии, что
.
18.
Даны точки А(2,
–1, –1),
В(5, –2, 7), С(3, –5,
3), D(5,
–3, 4).
Вычислить
.
19.
Найти проекцию вектора =(3,
5, –2
)
на ось, составляющую с координатными
осями
,
углы
,
.
А с осью
- острый угол
.
20.
Дан квадрат ABCD
(обозначение вершин принято по ходу
часовой стрелки), длина стороны которого
равна 2.
Точка О
выбрана в плоскости квадрата так, что
,
.
Найти
.
Указание. Использовать последовательность действий:
а)
ввести декартову прямоугольную систему
координат
с
началом в точке О так, чтобы ось
была направлена по вектору
,
а ось
направить в сторону расположения
квадрата;
б)
подсчитав длину
диагонали квадрата, убедиться (по теореме
Пифагора), что
–
прямоугольный (
),
а поэтому
;
в)
найти координаты вектора
,
найти координаты вектора
(очевидно
)
и вектора
,
используя равенство
,
найти координаты вектора
;
г)
зная координаты векторов
и
,
найти
,
где
,
.
21.
Векторы
и
совпадают со сторонами треугольника.
Вычислить длину медианыАМ,
проведенной из вершины А,
если
,
,
.
22.
Найти величину острого угла между
диагоналями параллелограмма, построенного
на векторах
и
.
23. Вычислить
координаты векторного произведения
и его длину
,
если
=(–3,
1, –1),
.
24. Даны вершины треугольника А(4, 0, 6), В(2, –1, 0)и С(4, 1, 1). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины А.
25.
Найти координаты вектора
,
перпендикулярного векторам
и
,если
и вектор
составляет с осью
тупой угол.
26. Вычислить
,
если
,
,
.
27. Вычислить
смешанное произведение векторов
,
,
.
28. Лежат ли четыре точки А(3, 3, 0), В(3, 2, 0), С(4, 3, –1), D(5, 3, –2) в одной плоскости?
29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой А(–6, –1, –2), В(–4, 2, 2), С(0, 1, 0), D(–3, 6, –1).
30. Вектор
перпендикулярен к векторам
и
.
Вычислить
,
если
,
,
,
,а тройка
векторов
–
правая.
4. Аналитическая геометрия в пространстве: плоскость и прямая в пространстве; поверхности второго порядка
31.
Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точку
,
параллельную плоскости
.
32. Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точку
и прямую
.
33. Составить
уравнение плоскости, проходящей через
прямую
,
перпендикулярно плоскости
.
34. Составить
уравнение плоскости, которая проходит
через точку
,
перпендикулярно двум плоскостям:
,
.
35. Найти расстояние
от точки
до плоскости
.
36. Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точку
перпендикулярно к прямой
.
37. Составить
параметрические уравнения прямой
.
38. Составить
канонические уравнения прямой, проходящей
через точку
,
параллельно прямой
,
,
.
39. Найти координаты
точки пересечения прямой
и плоскости
.
40. Найти тупой угол между прямыми:
,
,
;
,
,
.
41. Найти координаты
точки Q,
симметричной точке Р(0,
4, 2) относительно
плоскости
.
42. Найти координаты
точки Q,
симметричной точке Р(–3,
–2, 4) относительно
плоскости
.
43. Вычислить
расстояние
от точки
до прямой
.
44. Из всех прямых,
пересекающих две прямые:
и
.
Найти канонические уравнения той прямой,
которая была бы параллельна прямой
.
Указание. Произвести последовательность действий:
а) найти координаты
нормального вектора
к плоскости
,
проходящей через прямую
,
параллельно прямой
,
где
(2,
3, 1) – направляющий
вектор прямой
,
(8,
7, 1) – направляющий
вектор прямой
;
б) составить общее
уравнение плоскости
,
как плоскости, проходящей через точку
с нормальным вектором
;
в) аналогично найти
координаты нормального вектора
к плоскости
,
проходящей через прямую
,
параллельно прямой
,
где
(5,
4, 1),
(8,
7, 1) – направляющие
векторы прямых
и
соответственно.
Составить общее уравнение плоскости
,
как плоскости, проходящей через точку
с нормальным вектором
;
г) искомая прямая
есть линия пересечения плоскостей
и
,
зная их общие уравнения, найти канонические
уравнения искомой прямой.
45. Даны координаты вершины пирамиды А1(0, 6, 3), А2(4, 5, 1), А3(1, 5, 4), А4(1, 2, 5). Найти: 1) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 2) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 3) уравнение прямой А1А2; 4) уравнение плоскости А1А2А3; 5) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.
46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:
а)
,
,
(внутри цилиндра);
б)
,
;
5. Элементы линейной алгебры: системы линейных уравнений; матрицы; линейное векторное пространство; линейные операторы
47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
48. Найти все
вещественные матрицы, перестановочные
с матрицей
.
49. Найти матрицу
,
где
А=,
В=
,
С=
.
50. Найти ранг матриц:
а)
;
б)
.
51. Дана система линейных уравнений
Доказать ее совместность и решить тремя способами: а) методом Гаусса; б) средствами матричного исчисления; в) по формулам Крамера.
52. Будет ли вещественным линейным пространством:
а) множество всех
многочленов (от одного переменного) с
действительными коэффициентами степени
;
б) множество всех таких многочленов степени 6.
53. Найти все значения
,
при которых вектор
линейно выражается через векторы
,
если
=(2,
1,
),
=(1,
–2, –3),
=(–2,
3, 4),
=(1,
3, 7).
54. Выяснить, является
ли данная система векторов из
линейно зависимой?
=(–1,
0, 1, –1),
=(4,
1, –2, 1),
=(–2,
1, 1, –1),
=(3,
–1, –1, 1).
55. Выяснить
геометрический смысл действия линейных
операторов, данных в пространстве
,
матрицы которых относительно
ортонормированного базиса
имеют вид:
а)
;
б)
.
56. В пространстве
всех вещественных матриц второго
порядка дан оператор
:
.
Доказать линейность оператора
и найти его матрицу в базисе
,
,
,
.
57. В евклидовом
пространстве
линейный оператор
проецирует векторы на плоскость
,
а линейный оператор
переводит векторы
соответственно в векторы
,
,
,
где
,
.
Найти матрицы линейных операторов
,
,
в базисе
.
58. Найти собственные
значения и собственные векторы линейного
преобразования, заданного в некотором
базисе матрицей
.