Министерство образования Российской Федерации

Уральский государственный профессионально-педагогический университет

Кафедра высшей математики

Аналитическая геометрия и элементы линейной алгебры

Индивидуальные домашние задания

Варианты 15 – 21

Екатеринбург 2001

Аналитическая геометрия и элементы линейной алгебры: Индивидуальные домашние задания / Урал. гос. проф.-пед. ун-т, Екатеринбург, 2001. Варианты 15 –21. 56 с.

Составители: доц., канд. физ.-мат. наук Просвиров Александр Сергеевич, ст. препод. Горюн Тамара Васильевна.

© Уральский государственный

профессионально-педагогический

университет, 2001 г.

ВАРИАНТ №15

1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ: ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ; ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ; ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

1. Даны вершины треугольника А(2, 4), В(–1, 2), С(3, 5). Составить уравнения его высот.

2. Даны уравнения двух сторон прямоугольника х–2у+7=0, х–2у+22=0 и уравнения одной из его диагоналей 7х+у–11=0. Найти координаты точек пересечения диагонали с этими сторонами и уравнения двух других сторон прямоугольника.

3. Написать уравнения сторон квадрата, диагонали которого служат осями координат. Длина сторон квадрата равна .

4. Даны последовательно вершины выпуклого четырехугольника

А(–2, –1), В(4, 7), С(8, 4), D(–1, –8). Определить уравнения его диагоналей и координаты точки пересечения его диагоналей.

5. Отрезок, ограниченный точками А(8, 2) и В(11, 8), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

6. Даны середины сторон треугольника: М₁(–2, 7), М₂(1, 9), М₃(–1, 2). Составить уравнения его сторон.

7. Найти расстояние от точки А(–3, 4) до прямой, проходящей через точки М₁(–4, 6) и М₂(–2, 9).

8. Точка А(–1, 2) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой х–2у+10=0. Найти площадь квадрата.

9. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):

а) б)в)г)д)

е)

10. Установить, какая линия определяется уравнением . Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.

11. Составить уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее вершинами равно 24 и фокусы суть .

12. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А(6, 5), чем от оси ординат. Определить, какая это линия; сделать чертеж.

13 Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: а) построить линию по точкам, начиная отдои придаваязначения через промежуток; б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; в) по полученному уравнению определить, какая это линия.

2. Определители, базис в пространстве, координаты вектора

14. Вычислить определители:

а) по правилу треугольника;

б) разложением по элементам первой строки;

в) разложением по элементам второго столбца;

г) сведением к треугольному виду:

а) , б), в), г).

15. Даны векторы: ₁=(2, –1, 3); ₂=(5, 0, –2); ₃=(–2, 1, –1); =(–7, 1, 5) в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

3. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.

16. Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором =(–3, 2, –2).

17. Два вектора =(7, –6, –6) и =(–4, 7, 4) приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов ивекторови;

б) вектора +;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторамиипри условии, что.

18. Найти проекцию вектора на направление вектора =(–3, 0, 4).

19. Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осямииуглы,, а с осьютупой угол.

20. В равнобедренном треугольнике OAB ()точка C делит сторону AB в отношении 1:4 (считая от вершины A). Найти угол между векторами и, если=60.

Указание. Использовать последовательность действий: