2.4. Электростатика

Пример 1. Два точечных электрических заряда q₁ = 1 нКл и q₂ = - 2 нКл находятся в воздухе на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить напряженность и потенциал  поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удаленной от заряда q₁ на расстояние r₁ = 9 см и от заряда q₂ - на расстояние r₂ = 7 см.

Решение. Согласно принципу суперпозиции электрических полей каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Напряженности электрического поля, создаваемого в воздухе ( = 1) зарядами q₁ и q₂, равны

, . (1)

Вектор (рис. 7) направлен по силовой линии от заряда q₁, так как этот заряд положителен; вектор направлен также по силовой линии, но к заряду q₂, поскольку этот заряд отрицателен.

Модуль вектора найдем по теореме косинусов:

, (2)

где  - угол между векторами и , который мо-жет быть найден из треугольника со сторонами r₁, r₂ и d:

.

Во избежание громоздких записей значение cos удобнее вычислить отдельно:

.

Подставляя выражения Е₁ и Е₂ из уравнений (1) в формулу (2) и вынося общий множитель за знак корня, получаем

.

В соответствии с принципом суперпозиции потен-циал поля, создаваемого двумя зарядами q₁ и q₂, равен алгебраической сумме потенциалов, т.е.

. (3)

Потенциал электрического поля, создаваемого в воздухе ( = 1) точечным зарядом q на расстоянии r от него, вычисляется по формуле

. (4)

Согласно формулам (3) и (4),

.

Учтем, что

,

и произведем вычисления:

10³ В/м кВ/м.

157 В.

При вычислении Е знак заряда q₂ опущен, так как он определяет направление вектора напряженности, которое было учтено при графическом изображении вектора (см. рис. 7).

Пример 2. Конденсатор емкостью C₁ = 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U₁ = 40 В. После отключения от источника тока его соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью C₂ = 5 мкФ. Какая энергия W израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Решение. Энергия, израсходованная на образование искры, равна

W = W₁ - W₂, (1)

где W₁ - энергия, которой обладал первый конден-сатор до присоединения к нему второго конден-сатора;

W₂ - энергия, которую имеет батарея, состав-ленная из двух конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле

, (2)

где C - емкость конденсатора;

U - разность потенциалов между его обкладками.

Выразив в уравнении (1) энергии W₁ и W₂ по формуле (2) и приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим

, (3)

где U₂ - разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что общий заряд q после подключения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов U₂ следующим образом:

. (4)

Подставив выражение (4) в формулу (3), найдем

.

Произведем вычисления:

1,510^-3 Дж.