2011_rogov_nadejnost

Надежность систем электроснабжения : рабочая программа, метод. указания и контрол. задания / Рогов Г.А., Беляев А.В.

Преобразуем Y0 и Y1 :

Видим, что эта функция бесповторная и дальнейших преобразований не требует.

Здесь буквы X 3 , X 4 , X 5 , X 6 входят по два раза, и преобразование нужно

продолжить, например, по букве X3 и т.д., пока все получаемые функции не будут бесповторными. Затем все полученные бесповторные функции записываются в строчном или матричном виде, заканчиваются логические преобразования и с учетом независимости событий, после подстановки Ri, qi и знаков «+» и «-», подсчитывается значение Rc и Qс и другие показатели надежности.

Конъюнкция А&B двух высказываний представляет собой сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны составляющие его высказывания А и B.

3. Операция дизъюнкции (V) – логическое сложение

Вологодский государственный технический университет

Надежность систем электроснабжения : рабочая программа, метод. указания и контрол. задания / Рогов Г.А., Беляев А.В.

Дизъюнкция двух высказываний АVВ является сложным высказыванием, которое ложно тогда и только тогда, когда оба слагаемых А и В ложны.

4.Правила для одной логической переменной

5. Правила для двух и трех логических переменных Функции конъюнкции и дизъюнкции подчиняются сочетательному (ассо-

Эти правила выражают свойства дизъюнкций и конъюнкций, взятых в отдельности, при этом связь с помощью знака конъюнкции считается более тесной (старшее действие), чем с помощью знака дизъюнкции (младшее действие).

Распределительный (дистрибутивный) закон для конъюнкции относительно дизъюнкции записывается:

и в обычной алгебре не имеет места. Закон двойственности или закон инверсий позволяет заменять отрицание конъюнкции дизъюнкцией отрицаний и отрицание дизъюнкции конъюнкцией отрицаний:

Правила (19), (20) называют формулами де Моргана, и для произвольного числа логических переменных имеют вид:

22

Вологодский государственный технический университет

Надежность систем электроснабжения : рабочая программа, метод. указания и контрол. задания / Рогов Г.А., Беляев А.В.

где логические переменные обозначены одной буквой X с различными индексами i(i=1,2,…,n), а знаки конъюнкций и дизъюнкций используются аналогично знакам произведения П и суммы Σ обычной алгебры .

Для упрощения сложных логических выражений могут применяться следующие операции:

- операция поглощения

Далее введем в рассмотрение «степень» аргумента Xi , которую будем обозначать X iαi , где αi – двоичная величина. Положим, что

где Kj – элементарные конъюнкции различных рангов, называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).

Определение 3. Выражение вида

называется элементарной дизъюнкцией (Д) ранга r.

23

Вологодский государственный технический университет

Надежность систем электроснабжения : рабочая программа, метод. указания и контрол. задания / Рогов Г.А., Беляев А.В.

Определение 4. Выражение вида

где Di – элементарные дизъюнкции различных рантов, называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ).

Определение 5.

Две элементарные конъюнкции называются ортогональными, если их произведение равно 0. Например, произведение элементарных конъюнкций X1 X′2 и X1 X2 X3 X4 равно 0, поскольку X′2& X2=0.

Определение 6.

ДНФ называется ортогональной (ОДНФ), если все ее члены попарно ортогональны.

Определение 7.

ДНФ, в которой все буквы имеют разные номера, называется бесповторной ДНФ (ОДНФ). Например, буквы X1 X′1 имеют один и тот же номер и не могут одновременно входить в БДНФ.

Определение 8.

Функция алгебры логики (ФАЛ), все буквы которой имеют разные номера, называется бесповторной ФАЛ (БФАЛ).

ФАЛ могут быть представлены в табличной форме, в виде аналитической записи в строку и в виде логических матриц. Пусть ФАЛ имеет следующий вид записи в строку:

В матричной форме эта ФАЛ может быть представлена в виде:

причем, вторая матрица записана в ДНФ.

24

Вологодский государственный технический университет

Надежность систем электроснабжения : рабочая программа, метод. указания и контрол. задания / Рогов Г.А., Беляев А.В.

3.Выполнить расчет этой же структуры схемно-логическим методом, приняв данные к задаче 3.2. Определить Rc, Qc, λс, Tср и Кг.

25

Вологодский государственный технический университет

Надежность систем электроснабжения : рабочая программа, метод. указания и контрол. задания / Рогов Г.А., Беляев А.В.

Методические указания к заданию №4

4.1. Табличный метод расчета надежности систем электроснабжения.

Этот метод основан на использовании теоремы сложения вероятностей совместных событий, в качестве которых здесь выступают элементарные конъюнкции условий работоспособности или неработоспособности системы, записанные в ДНФ с помощью путей успешного функционирования

j =1

Согласно указанной теореме и выражений (31) и (32 ) вероятность безотказной работы системы или вероятность ее отказа можно вычислить по формулам:

... + (−1)n−1 P(S1 & S2 & ... & Sn )

где знаки суммы распространяются на различные значения индексов i, j, k. Согласно этому методу составляется специальная таблица, в которой раз-

мещается m строк по числу элементов в системе и C столбцов, причем

где Cdk - число сочетаний из d по k.

В названиях строк указываются вероятности безотказной работы элементов Rxk (или вероятности их отказов ρxk), а в названиях столбцов записываются все возможные сочетания конъюнкций ρl (или Sj), взятых по одной, по две, по

три и т.д. Указываются также знаки этих конъюнкций «+» или «-», чередующиеся в соответствии с формулами (34) или (35). Указанную таблицу заполняют крестиками и черточками, причем крестиками отличают вероятности тех событий, которые входят в данную конъюнкцию, а черточками – вероятности

26

Вологодский государственный технический университет

Надежность систем электроснабжения : рабочая программа, метод. указания и контрол. задания / Рогов Г.А., Беляев А.В.

событий, отсутствующих в ней. В качестве примера приведена таблица расчета надежности для системы из 8 элементов, имеющих одинаковую вероятность безотказной работы (Табл. 8).

Таблица 8

Расчет надежности

Табличный метод расчета надежности удобен тем, что автоматически выполняется умножение логических переменных самих на себя согласно тождеству:

и взаимно уничтожаются многие одинаковые конъюнкции, вероятности которых имеют разные знаки.

Так, после заполнения табл.6 крестиками и черточками, можно вычеркнуть те одинаковые конъюнкции, которые вошли в нее с разными знаками.

Вданном случае – это столбцы 9,11,14 и 15.

4.2.Схемно-логический метод расчета надежности систем электроснаб-

жения

Схемно-логический метод расчета основан на обобщенной теореме разложения произвольной функции алгебры логики (АЛ) по любым i-м аргументам и использовании специальной релейно-контактной схемы (РКС)

f ( X ,..., X , X + ,..., X ) = VX α 1 X α 2 ...X α i f (α ,α ,...,α , X + ,..., X ) , (37)

1 i i 1 m 1 2 i 1 2 i i 1 m

являющейся моделью условий работоспособности данной системы. На РКС каждый элемент изображается электрическим контактом, а провода, связывающие элементы, заменяют логические операции и (&) И и ИЛИ (V), при этом РКС всегда получается в виде последовательно-параллельных контактных

27

Вологодский государственный технический университет

Надежность систем электроснабжения : рабочая программа, метод. указания и контрол. задания / Рогов Г.А., Беляев А.В.

Рис. 8

Некоторые соотношения АЛ изображаются на РКС следующим образом:

Рис. 9

Алгоритм применения схемно-логического метода

1.По условиям работоспособности системы, записанным в ДНФ, изображается РКС. При этом контакты, входящие одновременно в несколько параллельных цепей, выносятся в общую для них последовательную цепь.

2.Выбирается для вынесения в последовательную цепь такая комбинация контактов, которая обеспечивает размыкание всех или большей части параллельных цепей РКС. После вынесения группы из r контактов РКС распадается на 2 r параллельных схем.

3.В каждой из 2r полученных параллельных схем производят преобразования, вытекающие из теоремы разложения (37), а именно: контакты, одинаковые с вынесенными, замыкают, а отрицания вынесенных контактов размыкают.

4.В схемах, полученных в результате преобразований, удаляют все разомкнутые цепи и заменяют все группы контактов, которые короткозамкнуты,

28

Вологодский государственный технический университет

Надежность систем электроснабжения : рабочая программа, метод. указания и контрол. задания / Рогов Г.А., Беляев А.В.

проводом (линией). Контакты, имеющиеся во всех параллельных цепях, выносят в общую последовательную цепь, а цепи, шунтируемые другими параллельными им цепями, удаляют.

5. Если схема оказалась постоянно разомкнутой, то она исключается из дальнейшего рассмотрения.

Если схема оказалась постоянно замкнутой, то она не подвергается дальнейшим преобразованиям. Если схема бесповторна, то процесс ее преобразования заканчивается.

Если схема не является бесповторной, то переходят к п.2 и производят аналогичные преобразования.

По полученным в результате преобразований схемам записывают ФАЛ. Затем от ФАЛ переходят к вероятностной функции, при этом каждая буква в ФАЛ заменяется вероятностью ее равенства 1:

Знаки логического умножения и сложения заменяются знаками арифметического умножения и сложения.

Вероятность равенства 1 функции f (X 1 ,..., X m ), представленной в беспо-

вторной форме, можно находить по ее конъюнктивной форме, полученной за счет применения теоремы де Моргана.

Методические указания к заданию 4.2.

Рис. 10. Исходная расчетная структура

29

Вологодский государственный технический университет

Надежность систем электроснабжения : рабочая программа, метод. указания и контрол. задания / Рогов Г.А., Беляев А.В.

Логическая матрица путей успешной работы имеет следующий вид

По исходной матрице строим РКС

Рис. 11. РКС для исходной матрицы

Рис. 12. Схемы после разложения РКС

30

Вологодский государственный технический университет