Metodichka_po_Vysshey_Matematike_4_semestr

Математика : метод. указания и контрол. задания для студентов заоч. формы обучения: (IV семестр): ФЗДО: спец. инженер.-техн./ А. А. Аваев, С. А. Иконникова

По определению дисперсия D(X ) ДСВ X находится по формуле

n

D(X ) = ∑ xi2 pi - [M (X )]2 .

i =1

В рассматриваемом случае

D(X ) = (- 5)2 × 0,2 + (- 2)2 × 0,5 + 32 × 0,3 - (-1,1)2 = 8,49 .

График функции распределения вероятностей ДСВ X легко можно построить, исходя из свойства этой функции: вероятность того, что ДСВ принимает одно из своих возможных значений, равно скачку функции распределения в соответствующей точке. Этот график приведен на следующем рисунке.

Имея график функции распределения, ее можно легко описать аналитически:

0; x ≤ 5;

Вероятность P(x1 ≤ X < x2 ) попадания ДСВ X в интервал [x1, x2 ) нахо-

дится по формуле

P(x1 ≤ X < x2 ) = F (x2 ) − F (x1 ).

21

Вологодский государственный технический университет. Научно-техническая библиотека

Математика : метод. указания и контрол. задания для студентов заоч. формы обучения: (IV семестр): ФЗДО: спец. инженер.-техн./ А. А. Аваев, С. А. Иконникова

В рассматриваемом случае

P(− 3 ≤ X < x) = P(− 3 ≤ X < 3) = F (3) − F (− 3) = 0,7 − 0,2 = 0,5 .

Ответ: p = 0,3; x = 3; D(X ) = 8,49; P(− 3 ≤ X < x) = 0,5 .

3.7. Непрерывная случайная величина (НСВ) X задана плотностью распределения вероятностей y = f (x):

0; x ≤ −2;

Найти a и построить график плотности распределения. Найти функцию распределения вероятностей F (x) и построить ее график. Найти числовые характеристики НСВ X − математическое ожидание M (X ) и дисперсию

D(X ). Найти вероятность P(− 1 ≤ X ≤ 2).

Решение.

Числовое значение параметра a находится из условия

2ax 1 + ax 3 = 2a × (1 - (- 2)) + a × (3 -1) =1;

− 2 1

8a =1 a = 1 .

8

22

Вологодский государственный технический университет. Научно-техническая библиотека

Математика : метод. указания и контрол. задания для студентов заоч. формы обучения: (IV семестр): ФЗДО: спец. инженер.-техн./ А. А. Аваев, С. А. Иконникова

С учетом этого плотность распределения вероятностей НСВ X в данном случае описывается следующим образом:

График плотности распределения представлен на следующем рисунке.

Функция распределения вероятностей НСВ X , заданной плотностью распределения f (x), рассчитывается по формуле

x

F (x) = ∫ f (t )dt .

− ∞

1). x ≤ −2 :

x

∫0 × dt = 0 .

−∞

23

Вологодский государственный технический университет. Научно-техническая библиотека

Математика : метод. указания и контрол. задания для студентов заоч. формы обучения: (IV семестр): ФЗДО: спец. инженер.-техн./ А. А. Аваев, С. А. Иконникова

4). x > 3 :

Таким образом, функция распределения вероятностей НСВ X в данном случае имеет вид:

0; x £ -2;

График функции распределения представлен на рисунке.

Математическое ожидание M (X ) НСВ X рассчитывается по формуле

Дисперсия D(X ) НСВ X рассчитывается по формуле

24

Вологодский государственный технический университет. Научно-техническая библиотека

Математика : метод. указания и контрол. задания для студентов заоч. формы обучения: (IV семестр): ФЗДО: спец. инженер.-техн./ А. А. Аваев, С. А. Иконникова

По второму способу в данном случае можно обойтись без интегрирования. Дело в том, что искомая вероятность совпадает с площадью заштрихованной фигуры, представленной на графике плотности распределения. Эту площадь можно легко вычислить как сумму площадей двух прямоугольников с длинами оснований 2 и 1 и высотами 14 и 18 соответственно:

P(-1 £ X £ 2) = 1 × 2 + 1 ×1 = 5 . 4 8 8

Ответ: a = 18; M (X ) = 18; D(X ) = 349192 ≈ 1,818; P(− 1 ≤ X ≤ 2) = 58 .

25

Вологодский государственный технический университет. Научно-техническая библиотека

Математика : метод. указания и контрол. задания для студентов заоч. формы обучения: (IV семестр): ФЗДО: спец. инженер.-техн./ А. А. Аваев, С. А. Иконникова

Задачи для контрольных заданий Контрольная работа № 10. Теория поля.

1-10. Дана функция u(x, y, z ) и точки M1, M 2 . Вычислить:

1)производную от этой функции в точке M1 по направлению вектора

M1M 2 ;

2)(gradu )M1 .

1.u(x, y, z ) =12 × x × y 2 × 3 z , M1 (4;-1;1), M 2 (3;0;-1).

2.u(x, y, z ) = x2 × 4 y × z3 , M1(2;1;1), M 2 (3;-1;0).

3.u(x, y, z ) = 3 × 3 x × y3 × z 4 , M1(1;-1;1), M 2 (-1;1;2).

4.u(x, y, z ) = x × y × z3 , M1 (4;1;-1), M 2 (2;0;0).

5.u(x, y, z ) = 4 × 4 x × y × z, M1(1;4;1), M 2 (2;3;0).

6.u(x, y, z ) =10 × 5 x × y 2 × z , M1(1;-1;1), M 2 (0;2;-1).

7.u(x, y, z ) = 3x2 × 3 y × z3 , M1 (1;1;-1), M 2 (3;-1;2).

8.u(x, y, z ) = 4 × x 4 × y × 4 z , M1 (-1;1;1), M 2 (0;-2;2).

9.u(x, y, z ) = x × y × z 2 , M1 (4;4;1), M 2 (0;3;0).

10.u(x, y, z ) = 3x3 × 3 y × z 2 , M1(1;1;1), M 2 (3;-1;0).

11-20. Вычислить поток Π векторного поля F (x, y, z ) через часть плоскости p , ограниченную координатными плоскостями.

11.F (x, y, z ) = (2z - x)i + (x - y ) j + (3x + z )k , p : x + y + 2z = 2 .

12.F (x, y, z ) = (x + z )i + (x + 3y ) j + y k , p : x + 2 y + z = 2 .

13.F (x, y, z ) = (x + y)i + 3y j + (y - z )k , p : 2x + y + z = 2 .

14.F (x, y, z ) = (x + z )i + x j + (2x - y)k , p : 2x + 2 y + z = 2 .

15.F (x, y, z ) = x i + (x + z ) j + (y - z )k , p : 3x + 3y + z = 3 .

16.F (x, y, z ) = (3x - y )i + (2 y + z ) j + (2z - x)k , p : 2x + 3y + z = 6 .

17.F (x, y, z ) = (2 y + z )i + (x - y ) j - 2z k , p : x + y + z = 2 .

26

Вологодский государственный технический университет. Научно-техническая библиотека

Математика : метод. указания и контрол. задания для студентов заоч. формы обучения: (IV семестр): ФЗДО: спец. инженер.-техн./ А. А. Аваев, С. А. Иконникова

18.F (x, y, z ) = (y + z )i + (2x - z ) j + (y + 3z )k , p : 2x + y + 3z = 6 .

19.F (x, y, z ) = 4z i + (x - y - z ) j + (3y + z )k , p : 3x + 2 y + 2z = 6 .

20.F (x, y, z ) = (x + z )i + z j + (2x - y )k , p : 3x + 2 y + z = 6 .

21-30. Вычислить поток Π векторного поля F (x, y, z ) через замкнутую поверхность S .

S: z =1 - x2 ; y = x; y = 2x; z = 0(x ³ 0).

23.F (x, y, z ) = (2xz + xy)i + (x2 + xy) j + (x - y + z 2 )k ,

S: z =1 - y 2 ; y = x; y = 2x; z = 0(y ³ 0).

26.F (x, y, z ) = (xz + yz )i + (2xy - z 2 ) j + (x3 - yz)k ,

S : z = x2 ; x = 0; x =1; y = -1; z = 0 .

27.F (x, y, z ) = (2xz - 3z )i + (xy + z 2 ) j + (xy 2 + 2z 2 )k ,

S : z = 2 - x2 - y 2 ; y = x; x =1; y = 0; z = 0 .

28.F (x, y, z ) = (z3 - xy)i + (2xy + 3z ) j + ( x - xy 2 + z 2 )k ,

S : z =1 - x2 ; y = x; y = 0; z = 0(x ³ 0).

29. F (x, y, z ) = (x2 - xy + z 2 )i + (4xy - z ) j + (x2 - y - z 2 )k ,

S : z =1 - y 2 ; y = x; x =1; y = 0; z = 0 .

27

Вологодский государственный технический университет. Научно-техническая библиотека

Математика : метод. указания и контрол. задания для студентов заоч. формы обучения: (IV семестр): ФЗДО: спец. инженер.-техн./ А. А. Аваев, С. А. Иконникова

30. F (x, y, z ) = (2xz + y2 )i + (3xy + z3 ) j + (yz − x2 )k ,

S : z = 2 − x2 − y 2 ; x = 0; x = 1; y = 0; y = 1; z = 0 .

31-40. С помощью формулы Стокса вычислить циркуляцию Ц векторного

поля, заданного функцией F (x, y, z ), по контуру ABCA треугольника с

вершинами A, B,C .

31.F (x, y, z ) = (2x2 + y 2 + 3z 2 )i + (x2 + 2 y 2 − z 2 ) j + (x2 − y 2 + 3z 2 )k ;

A(1;0;0), B(0;2;0),C(0;0;1).

32.F (x, y, z ) = (− x2 − 2 y 2 + z 2 )i + (2x2 − y 2 + z 2 ) j + (2x2 + y 2 − z 2 )k ;

A(1;0;0), B(0;1;0),C(0;0;2).

33.F (x, y, z ) = (x2 − 3y 2 − z 2 )i + (− x2 + 2 y 2 − z 2 ) j + (2x2 + 3y 2 + z 2 )k ;

A(1;0;0), B(0;2;0),C(0;0;2).

34.F (x, y, z ) = (2x2 − y 2 − z 2 )i + (3x2 − y 2 − 4z 2 ) j + (− x2 − y 2 + 3z 2 )k ;

A(1;0;0), B(0;3;0),C(0;0;2).

35.F (x, y, z ) = (x2 − 2 y 2 + z 2 )i + (− x2 + 3y 2 + z 2 ) j + (4x2 − y 2 + 2z 2 )k ;

A(1;0;0), B(0;2;0),C(0;0;3).

36.F (x, y, z ) = (− 2x2 + 2 y 2 + z 2 )i + (x2 + 4 y 2 − 5z 2 ) j + (3x2 − y 2 − z 2 )k ;

A(1;0;0), B(0;4;0),C(0;0;4).

37.F (x, y, z ) = (x2 − 4 y 2 + z 2 )i + (3x2 + y 2 + z 2 ) j + (2x2 − y 2 − 2z 2 )k ;

A(1;0;0), B(0;4;0),C(0;0;1).

38.F (x, y, z ) = (− x2 − 3y 2 + z 2 )i + (− 3x2 + y 2 + 2z 2 ) j + (x2 + 5 y 2 − z 2 )k ;

A(1;0;0), B(0;1;0),C(0;0;5).

39.F (x, y, z ) = (5x2 − y 2 + 3z 2 )i + (x2 + 2 y 2 − 2z 2 ) j + (− 2x2 − y 2 − z 2 )k ;

A(1;0;0), B(0;4;0),C(0;0;3).

40.F (x, y, z ) = (2x2 − y 2 − 5z 2 )i + (− x2 + 3y 2 − z 2 ) j + (2x2 + y 2 + 3z 2 )k ;

A(1;0;0), B(0;5;0),C(0;0;1).

28

Вологодский государственный технический университет. Научно-техническая библиотека

Математика : метод. указания и контрол. задания для студентов заоч. формы обучения: (IV семестр): ФЗДО: спец. инженер.-техн./ А. А. Аваев, С. А. Иконникова

41-50. Определить действительную u(x, y ) и мнимую v(x, y ) части функции w = f (z). Проверить выполнение условий Коши-Римана.

51-60. Для заданной функции u(x, y ) (v(x, y)) найти сопряженную функцию v(x, y) (u(x, y)) и функцию f (z ) при известном значении f (0).

51.u(x, y ) = x3 − 3xy 2 + 3x + 2; f (0) = 2 .

52.v(x, y ) = 3x2 y − y3 + 4xy + 4; f (0) = 4i .

53.u(x, y ) = x3 − 3xy 2 + 3x2 − 3y 2 − 3; f (0) = −3 .

54.v(x, y ) = 6x2 y − 2 y3 + 6 y − 4; f (0) = −4i .

55.u(x, y ) = 2x3 − 6xy 2 + 3x2 − 3y 2 + 3; f (0) = 3 .

56.v(x, y ) = 6x2 y − 2 y3 − 6xy + 5; f (0) = 5i .

57.u(x, y ) = 3x − x3 + 3xy 2 − 4; f (0) = −4 .

58.v(x, y ) = 3x2 − 3y 2 − 3x2 y + y3 − 2; f (0) = −2i .

59.u(x, y ) = 6x − x3 + 3xy 2 + 5; f (0) = 5 .

60.v(x, y ) = 3x2 − 3y 2 − 2x3 + 6xy 2 − 3; f (0) = −3i .

61-70. С помощью операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях.

61.x′′ − x′ − 2x = (6t + 2)e2t ; x(0) = 4; x′(0) = −1.

62.x′′ + 4x = (8t + 4)e2t ; x(0) = 4; x′(0) = −1.

63.x′′ + x′ − 2x = −5cost + 5sin t; x(0) = 6; x′(0) = 0 .

64.x′′ + 6x′ + 13x = 12te−3t ; x(0) = 5; x′(0) = −10 .

29

Вологодский государственный технический университет. Научно-техническая библиотека

Математика : метод. указания и контрол. задания для студентов заоч. формы обучения: (IV семестр): ФЗДО: спец. инженер.-техн./ А. А. Аваев, С. А. Иконникова

65.x′′ − 4x′ + 4x = 6te2t ; x(0) = −2; x′(0) = −1.

66.x′′ + 9x = 16 cost − 40sin t; x(0) = 5; x′(0) = −11.

67.x′′ + 2x′ + x = 12te −t ; x(0) = −3; x′(0) = 7 .

68.x′′ − 4x′ + 13x = 9te2t ; x(0) = 3; x′(0) = 13 .

69.x′′ − x′ − 12x = −21cos(3t ) + 3sin(3t ); x(0) = 6; x′(0) = 13 .

70.x′′ + 2x′ + 10x = 27te−t ; x(0) = 6; x′(0) = −6 .

71-80. С помощью операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, соответствующее заданным начальным условиям.

30

Вологодский государственный технический университет. Научно-техническая библиотека