3 Рассчетно-графическая часть

Допустим, что в результате натурного эксперименты получены следующие количественные значения концентрации конкретного загрязняющегося вещества (примерами могут служить нормируемые загрязняющиеся вещества в окружающей среде: биогены, нефтепродукты, тяжелые металлы, фенолы и т.д.) в определенном пункте контроля. Целью расчета является получение основных статистических характеристик и их анализ, подбор генеральной совокупности по результатам натурных наблюдений.

1. Построение вариационного ряда (Х_min– X_max)

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	13.56	14.71	15.71	15.96	16.23	16.39	18.66	18.88	19.01	19.34
№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	20.23	20.41	20.62	20.78	21.17	21.43	22.13	22.19	22.44	22.57
№	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
	22.64	22.86	23.55	24.28	25.07	25.36	25.93	26.96	28.75	30.48

2. Группировка вариационного ряда

1. Определение количества классов (интервалов)

Для определения количества классов используем формулу Старжесса

(1)

где – количество классов;

–объем выборки или количество значений в ряду.

По формуле (1) определяем количество классов, на которые необходимо разделить вариационный ряд:

2. Определение длины каждого класса

Определение размаха или амплитуды колебания каждой величины:

где – размах(мг/л)

где – длина каждого интервала

4

3. Определение границ каждого интервала

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Результаты расчета:

4. Определение эмпирической частоты

Частота – это количество значений, попавших в каждый интервал

Результаты расчета: Таблица 1

	Границы интервалов мг/л	Частота ni	Ср.арифм.интервала Xiмг/л	ni×Xi
1		5	14.96	74.8
2		4	17.79	71.16
3		7	20.61	144.27
4		8	23.43	187.44
5		4	26.25	105
6		2	29.07	58.14
	∑	30	∑	640.81

3. Определение расчетно-статистических характеристик

1. Определение мер положения

Целью исследования является определение центра распределения:

Среднее арифметическое значение (основной показатель, входящий в характеристику большинства законов распределения) является первым начальным моментом и вычисляется по следующей формуле:

5

где – среднее арифметическое значение выборки; (мг/л)

–среднее арифметическое значение каждого интервала; (мг/л)

–частота каждого интервала

Мода – значение, имеющее максимальную частоту, т.е. наиболее часто встречаемое значение случайной величины в выборке. Она определяется по формуле:

где – начало модального интервала

–частота модального интервала

–частоты последующего и предыдущего за модальным интервалом

Модальным называется интервал с наибольшей частотой.

Медиана – определение серединного элемента выборки:

где – начало модального интервала

–частота модального интервала

–сумма частот, предшествующих медианному

Медианный интервал определяется по серединному элементу вариационного ряда. Если в вариационном ряду четное количество значений, то нет серединного элемента. Необходимо определить два центральных элемента, найти среднее арифметическое. Полученное значение подставляется в границы интервалов.

2. Меры рассеивания

Характеристикой рассеивания или отклонения случайной величины от центра распределения выступает дисперсия – второй центральный момент.

Согласно методу моментов дисперсия определяется по формуле:

6

Для определения стандартного отклонения из дисперсии извлекается квадратный корень, полученная величина называется средним квадратичным отклонением и обозначается δ (мг/л).

Нормированное отклонение определяется коэффициентом вариации

3. Характеристики формы кривой распределения

Характеристиками формы кривых распределений выступают третий и четвертый центральные моменты.

Третий центральный момент характеризует симметричность ряда, т.е. неравномерность распределения случайной величины относительно центра и определяется по формуле:

Безразмерный коэффициент асимметрии () определяется отношением третьего центрального момента к кубу среднего квадратичного отклонения.

Четвертый центральный момент характеризует форму симметричной кривой распределения.

Показателем остро- или плосковершинности выступает коэффициент эксцесса (), который определяется отношением четвертого центрального момента к к среднему квадратичному отклонению в четвертой степени, за вычетом коэффициента 3.

Общая формула для расчета центральных моментов

7

Таблица 2

1	5	-6.4	40.96	-262.14	1677.72	204.8	-1310.7	8388.6
2	4	-3.57	12.74	-45.5	162.43	50.96	-182	649.72
3	7	-0.75	0.56	-0.42	0.35	3.92	-2.92	2.45
4	8	2.07	4.28	8.87	18.36	34.24	70.96	146.88
5	4	4.89	23.91	116.93	571.79	95.64	467.72	2287.16
6	2	7.71	59.44	458.31	3533.6	118.88	916.62	7067.2
∑	30				∑	508.44	-40.32	18542.01

3.4 Изучение формы распределения

Так как коэффициент вариации , то ряд считается однородным.

8

Полученный коэффициент ассиметрии показывает на наличие левосторонней ассиметрии :

Оценка степени существенности ассиметрии выборки:

Вывод: асимметрия несущественная для выборки, так как ;при подборке генеральной совокупности можно воспользоваться несимметричными кривыми распределения.

Оценка степени существенности эксцесса:

Вывод: эксцесс несущественен для выборки, так как ; все предпосылки результатов расчетов направлены на подтверждение искомого аналитического закона – нормальную кривую распределения.

9

4. Графическое изображение вариационных рядов

Для графического изображения рядов распределения применяют гистограмму (кривая распределения плотности вероятностей, дифференциальная кривая распределения).

С помощью гистограммы (кривая распределения плотности вероятности, дифференциальная кривая распределения) эмпирического распределения можно предугадать вид генеральной совокупности (случайной величины, подчиняющейся определенной функциональной зависимости).

Таблица 3

	Границы интервалов (мг/л)	Частота	Относительная частота	Приведенная частота
1		5	0.17	0.06
2		4	0.13	0.05
3		7	0.23	0.08
4		8	0.27	0.1
5		4	0.13	0.05
6		2	0.07	0.02

–относительная частота определяется отношением эмпирической частоты к объему выборки и характеризует вероятность появления случайной величины в каждом интервале

- приведенная частота или плотность распределения случайной величины в заданном интервале

10

Гистограмма

(f)

0,1

0,08

0,06

0,05

0,02

13,56 16,38 19,2 22,02 24,84 27,66 30,48 x

11

5. Проверка статистических гипотез

1. Критерий однородности

Вопросы удлинения данных натурных рядов преследует цель корректировки статистических параметров. Для проверки выборок в сходстве формирования случайных величин используют статистические критерии однородности. Результатом статистического анализа на однородность является объединение двух в одну или отрицание однородности между сравниваемыми совокупностями. Для расчетов используют критерий однородности параметрический – критерий Фишера; непараметрический – критерий Вилкоксона.

Критерий Фишера основан на равенстве дисперсии выборок, распределенных приближенно нормально. Расчетное значение критерия Фишера определяется по формуле:

причем необходимое выполнение условия , где

- дисперсия выборки X

- дисперсия выборки Y

Для определения области допустимых значений необходимо задаться уровнем значимости и числом степеней свободы (для практических расчетов уровень значимости принимаем равным 0.05, число степеней свободы рассчитываем по следующей зависимости:

Используя таблицы F-распределения (Приложение 2), определяется критическое значение критерия в зависимости от выбранного уровня значимости и числа степеней свободы. Если выполняется условие, при котором расчетное значение не превосходит критическое, то можно предположить, что ряды однородны и сравниваемые выборки можно объединить в один ряд.

Из непараметрических критериев однородности можно выделить статистический критерий однородности Вилкоксона. Расчеты проводим в следующем виде и последовательности: значения обеих выборок (Xи Y) упорядочиваются вместе по величине, с учетом выборки из которого взято значение. Сумма инверсий определяется следующим образом: по построенному вариационному ряду из двух сравниваемых выборок проводят подсчет инверсий (инверсией считается величина, характеризующаяся следующим неравенством ) т.е. определяют, сколько значенийY-выборки находится перед каждым значением X-выборки. Расчетное значение критерия Вилкоксона определяется по формуле:

12

Критическое значение статистического критерия Вилкоксона определяется по таблицам или с помощью формулы:

где коэффициент определяется по формуле:

где – функция нормированного и центрированного закона нормального распределения (Приложение 1).

Допустим, необходимо сравнить две выборки на принадлежность их одной генеральной совокупности.

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	13.56	14.71	15.71	15.96	16.23	16.39	18.66	18.88	19.01	19.34
№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	20.23	20.41	20.62	20.78	21.17	21.43	22.13	22.19	22.44	22.57
№	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
	22.64	22.86	23.55	24.28	25.07	25.36	25.93	26.96	28.75	30.48

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	17.41	17.52	18.77	18.78	18.95	19.52	19.95	20.31	20.53	20.56
№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	20.71	21.07	21.19	21.27	21.32	21.89	22.23	22.55	22.55	22.91
№	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
	23.25	23.77	23.85	24.37	24.61	24.61	25.01	27.06	27.53	29.04

Критерий Фишера:

Область допустимых значений определяется в зависимости от уровня значимости и числа степеней свободы . По таблицеF-распределения (Приложение 2) определяем критическое значение критерия Фишера

13

Полученное расчетное значение критерия Фишера (не)превышает критического. Исходя из этого, можно сделать вывод, что оно находится в области допустимых значений, и нулевая гипотеза подтверждается, а это значит, что сравниваемые выборки однородны (принадлежат одной генеральной совокупности), и их можно объединить в одну. Данное предположение проверим непараметрическим критерием однородности Вилкоксона. Для этого необходимо провести следующие действия:

1. Величины обеих выборок располагаются в порядке возрастания

13.56(x); 14.71(x); 15.71(x); 15.96(x); 16.23(x); 16.39(x); 17.41(y); 17.52(y);

18.66(x); 18.77(y); 18.78(y); 18.88(x); 18.95(y); 19.01(x);19.34(x); 19.52(y);

19.95(y); 20.23(x); 20.31(y); 20.41(x); 20.53(y); 20.56(y); 20.62(x); 20.71(y);

20.78(x); 21.07(y); 21.17(y); 21.19(y); 21.27(y); 21.32(y); 21.43(x); 21.89(y);

22.13(x); 22.19(x); 22.23(y); 22.44(x); 22.55(y); 22.55(y); 22.57(x); 22.64(x); 22.86(x); 22.91(y); 23.25(y); 23.55(x); 23.77(y); 23.85(y); 24.28(x); 24.37(y);

24.61(y); 24.61(y); 25.01(y); 25.07(x); 25.36(x); 25.93(x); 26.96(x); 27.06(y);

27.53(y); 28.75(x); 29.04(y); 30.48(x).

∑U=2+4+5+5+7+8+10+11+12+15+16+16+17+19+19+19+20+23+27+27+27+27+29+30=395

2. По формулам (14,16) определяют расчетное и критическое значения критерия Вилкоксона

По таблицам нормированной и центрированной кривой нормального распределения (Приложение 1) определяем аргумент по значению функции (

Расчетное значение критерия Вилкоксона оказалось больше критического. Нулевая гипотеза не подтверждается, подтверждается аналитическая гипотеза, это значит, что сравниваемые выборки неоднородны.

2. Критерий согласия

Использование критериев согласия преследует цель поиска закона распределения генеральной совокупности, которой принадлежит данная анализируемая выборка. Расчеты проводятся для исходной совокупности (Х) при N=30. Цель расчетов заключается в следующем: с помощью критерия согласия Пирсона проверить принадлежность эмпирического материала нормальной кривой распределения (кривая Гаусса). 14

Как и при проверке однородности выдвигается нулевая гипотеза, но в данном случае она выражает согласие значений выборки со значениями нормальной кривой распределения, т.е. при увеличении данных натурных наблюдений до бесконечности, распределение случайных чисел отвечает выбранному закону распределения. Расчет по критерию Пирсона основан на определении теоретической частоты в эмпирических интервалах, и если эмпирическая частота и теоретическая отличаются незначительно, то принимается нулевая гипотеза при выбранном уровне значимости и числе степеней свободы. Расчетная формула статистического критерия согласия Пирсона имеет следующий вид:

где – количество интервалов

–эмпирическая частота

–теоретическая частота

Для того, чтобы использовать аналитические законы распределения, необходимо знать область возможных значений случайных величин (для нормально распределенной случайной величины область возможных значений определяется интервалом (–∞; +∞)). Расчеты сводим в таблицу 4.

Таблица 4

Определение выборочного значения на согласие эмпирического распределения с нормальным законом распределения.

0	–∞–13.56	0	–∞	-1.89	-0.5		-0.47	0.03		-0.9		-0.9		0.9
1		5	-1.89	-1.2	-0.47		-0.385	0.085		2.55		2.45		2.354
2		4	-1.2	-0.52	-0.385		-0.1985	0.1865		5.595		-1.595		0.4547
3		7	-0.52	0.16	-0.1985		0.0636	0.2621		7.863		-0.863		0.095
4		8	0.16	0.84	0.0636		0.2995	0.2359		7.077		0.923		0.12
5		4	0.84	1.53	0.2995		0.437	0.1375		4.125		-0.125		0.0038
6		2	1.53	2.21	0.437		0.4864	0.0494		1.482		0.518		0.181
7	30.48–+∞	0	2.21	+∞	0.4864		0.5	0.0136		0.408		-0.408		0.408
						∑			1		30		0		4.5165

Условные обозначения

–границы интервалов;

–эмпирическая частота;

–нормированная и центрированная случайная величина:

–значение функции нормального закона на границах интервалов определяется по таблицам 15

–теоретическая вероятность попадания случайной величины в заданный интервал

–объем выборки, =30

–теоретическая частота

Критическое значение критерия Пирсона определяется по таблицам или формуле:

где – число степеней свободы,

–коэффициент, определяемый по формуле:

Учитывая это, критическое значение Пирсона равно:

Критическое значение критерия Пирсона можно определить по таблицам –распределения в Приложение 3методических указаний.

Если расчетное значение не превышает критического на выбранном уровне значимости, нулевая гипотеза принимается, что подтверждает принадлежность исследуемой выборки нормальному закону распределения.

Вывод:

Эмпирическое распределение согласуется с кривой Гаусса. Все свойства с данной кривой Гаусса мы можем использовать для прогнозирования, моделирования и укрепления.