Варианты ИДЗ
.pdf
3. Разложить геометрически и аналитически вектор C по векторам a и b, если a =2i ; b=-
i -2 j ; c =-2 i +3 j .
4.Под действием силы F ={2,-1,-3} материальная точка переместилась из точки A(3,-2,1) в точку B(5,-3,-2). Вычислить работу силы F .
5.Даны векторы a ={2,-2,-2}; b={-2,3,-6}. Найти:
1) ( |
|
, |
|
); 2) |
|
|
|
|
; 3) ( |
|
|
|
+ |
|
, |
|
|
− |
|
|
) ; 4) прb ( |
|
+ |
|
); 5) |
|
|
|
|
0 − opт |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
|
a |
|
a |
b |
a |
b |
a |
b |
b |
b |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
=3 |
|
|
|
+ |
|
|
, где |
|
|
|
|
|
= 3; |
|
|
|
|
|
|
|
= 2;( |
|
, |
|
)= |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. Даны векторы |
|
|
a |
= |
|
m |
-2 |
n |
|
b |
m |
n |
|
|
|
|
|
|
π . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
m |
n |
m |
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
Найти: 1) ( |
|
, |
|
|
|
); 2) |
|
|
|
|
; 3) ( |
|
+ |
|
, |
|
− |
|
|
) ; 4) прb ( |
|
+ |
|
|
|
|
|
); |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
a |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
b |
a |
b |
a |
b |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.Найти площадь треугольника с вершинами A(2,3,1); B(4,1,-2); C(6,3,7).
8.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3; |
|
|
|
|
= 2;( |
|
, |
|
)= |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
a |
= |
m |
-2 |
n |
; |
b |
=3 |
m |
+ |
n |
, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
||||||
m |
n |
m |
n |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.Сила F =3 i +2 j -4 k приложена к точке A(2,-1,1). Найти величину и направление момента этой силы относительно начала координат.
10.Установить, компланарны ли векторы a =6i + j - k ; b=4 i -2 j +3 k ; c =8 i + k ;
11.Даны координаты вершин пирамиды A1 A 2 A 3 A 4 . A1 (1,3,5); A 2 (0,2,0); A 3 (5,7,9); A 4 (0,4,8). Требуется средствами векторной алгебры найти:
угол между ребрами A1 A 2 и A1 A 4 ;
площадь грани A1 A 2 A 3 ;
проекцию вектора A1 A3 на A1 A4 объем пирамиды.
Вариант 4
1. Векторы a и bданы геометрически. Построить каждый из следующих векторов:
1) |
a |
+ |
b |
; 2) |
a |
− |
b |
; 3) |
b |
− |
a |
; 4)5 |
|
− 2 |
|
; |
a |
b |
|||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
2. На плоскости даны точки А(5,-2); В(2,4); С(-2,3). В начале координат приложены силы OA,OB,OC . Построить равнодействующую OM . Выразить силы OA,OB,OC,OM через единичные векторы i и j координатных осей. Найти величину равнодействующей OM .
3. Разложить геометрически и аналитически вектор C по векторам a и b, если a =4 j ; b=- 2 i +3 j ; c =4 i +2 j .
4.Под действием силы F ={-2,0,3} материальная точка переместилась из точки A(1,2,-3) в точку B(-2,5,7). Вычислить работу силы F .
5.Даны векторы a ={2,-3,1}; b={-2,6,3}. Найти:
41
1) ( a , b); 2) a ;3) (a + b, a − b) ; 4) прa (a + b); 5) b 0 − opтb .
6. Даны векторы a =3 m -5 n ; b=2 m + n , где m = n = 1;(m, n)= π3 Найти: 1) ( a , b); 2) a ; 3) (a + b, a − b) ; 4) прa (a + b);
7.Найти площадь треугольника с вершинами A(1, 3, 2); B(3, 2, 7); C(-2, 1, 2).
8.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
a =3 m -5 n ; b=2 m + n , где m = n = 1;(m, n)= π3 .
9.Сила F =2 i +3 j + k приложена к точке A(-1,1,2). Найти величину и направление момента этой силы относительно т. B(-1,2,2).
10.Установить, компланарны ли векторы a =2i - j +2 k ; b=3 i +7 k ; c = i +2 j -3 k ;
11.Даны координаты вершин пирамиды A1 A 2 A 3 A 4 A1 (3,-5,2); A 2 (4,5,1); A 3 (-3,0,-4);
A 4 (-4,5,-6). Требуется средствами векторной алгебры найти:
угол между ребрами A1 A 2 и A1 A 4 ;
площадь грани A1 A 2 A 3 ;
проекцию вектора A1 A3 на A1 A4 объем пирамиды.
Вариант 5
1. Векторы a и bданы геометрически. Построить каждый из следующих векторов:
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
− |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
1) |
a |
b |
; 2) |
a |
b |
; 3) |
a |
b |
; 4) 3 |
|
− 4 |
|
; |
||||
a |
b |
||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
2. На плоскости даны точки А(-2,5); В(3,5); С(5,-2). В начале координат приложены силы OA,OB,OC . Построить равнодействующую OM . Выразить силы OA,OB,OC,OM через
единичные векторы i и j координатных осей. Найти величину равнодействующей OM .
3. Разложить геометрически и аналитически вектор C по векторам a и b, если a =i + j ; b= i -2 j ; c =3 i -3 j .
4.Под действием силы F ={1,-5,1} материальная точка переместилась из точки A(0,2,-1) в точку B(5,1,3). Вычислить работу силы F .
5.Даны векторы a ={3,1,-1}; b={3,0,4}. Найти:
1) ( |
|
|
|
, |
|
); 2) |
|
|
|
; 3) ( |
|
+ |
|
|
, |
|
|
− |
|
|
) ; 4) |
прb ( |
|
+ |
|
); 5) |
|
0 − opт |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
a |
b |
|
a |
|
a |
b |
a |
b |
a |
b |
b |
b |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1; |
|
|
|
= 2;( |
|
, |
|
)= |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. Даны векторы |
|
a |
=3 |
m |
- |
n |
; |
b |
=2 |
m |
+5 |
n |
, где |
|
|
|
|
|
|
|
π . Найти: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
m |
n |
m |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1) ( |
|
, |
|
); 2) |
|
|
|
; 3) ( |
|
+ |
|
|
, |
|
|
− |
|
|
) ; 4) |
прb ( |
|
+ |
|
); |
|
|||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
|
a |
|
a |
b |
a |
b |
a |
b |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
42
7.Найти площадь треугольника с вершинами A(4,5,-2); B(-1,3,0); C(6,1,5).
8.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1; |
|
|
|
= 2;( |
|
, |
|
)= |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
a |
= 3 |
m |
- |
n |
; |
b |
= 2 |
m |
+5 |
n |
, где |
|
|
|
|
|
|
|
π . |
||||||
m |
n |
m |
n |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.Сила F =3 i +2 k приложена к точке A(1,3,-2): Найти величину и направление момента этой силы относительно т. B(1,2,-1).
10.Установить, компланарны ли векторы
a =-3i +12 j +6 k ; b=2 i +3 j -4 k ; c = i +3 j +2 k ;
11. Даны координаты вершин пирамиды A1 A 2 A 3 A 4 A1 (4,5,2); A 2 (3,0,1); A 3 (-1,4,2); A 4 (5,7,8). Требуется средствами векторной алгебры найти:
угол между ребрами A1 A 2 и A1 A 4 ;
площадь грани A1 A 2 A 3 ;
проекцию вектора A1 A3 на A1 A4 объем пирамиды.
Вариант 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
даны геометрически. Построить каждый из следующих векторов: 1) |
|
+ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
a |
b |
|
|||||||
|
1. Векторы |
a |
b |
; |
||||||||||||||||
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
2 |
|
|
||||||||
2) |
a |
b |
; 3) |
− |
a |
b |
; 4)3 |
|
− 5 |
|
; |
|
||||||||
a |
b |
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. На плоскости даны точки А(5,-3); В(-1,2); С(3,1). В начале координат приложены силы OA,OB,OC . Построить равнодействующую OM . Выразить силы OA,OB,OC,OM через единичные векторы i и j координатных осей. Найти величину равнодействующей OM .
3. Разложить геометрически и аналитически вектор C по векторам a и b, если a =-2i +3 j ; b=-i -3 j ; c =5i +2 j .
4.Под действием силы F ={2,-1,3} материальная точка переместилась из точки A(-2,0,5) в точку B(1,-3,6). Вычислить работу силы F .
5.Даны векторы a ={3,-1,4}; b={-3,0,4}. Найти:
1) ( |
|
|
|
, |
|
); 2) |
|
|
|
; 3) ( |
|
+ |
|
|
, |
|
|
− |
|
|
) ; 4) |
прb ( |
|
+ |
|
); 5) |
|
|
|
|
|
0 − opт |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
a |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
b |
a |
b |
a |
b |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
b |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= 1;( |
|
, |
|
)= |
π |
|
|||||||||||||||||||||||
6. Даны векторы |
|
a |
= 2 |
p |
+ |
q |
; |
b |
= |
p |
-2 |
q |
, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
. Найти: |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
m |
n |
m |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1) ( |
|
, |
|
); 2) |
|
|
|
; 3) ( |
|
+ |
|
|
, |
|
|
− |
|
|
) ; 4) |
прb ( |
|
+ |
|
); |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
|
a |
|
a |
b |
a |
b |
a |
b |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.Найти площадь треугольника с вершинами A(-3, -2, 0); B(3, -3, 1); C(5, 0, 2).
8.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1;( |
|
, |
|
)= |
π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
a |
=2 |
p |
+ |
q |
; |
b |
= |
p |
-2 |
q |
, где |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||
m |
n |
m |
n |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43
9.Сила F =2 i -3 k приложена к точке A(1,1,5). Найти величину и направление момента этой силы относительно т. B(3,-2,2).
10.Доказать, что четыре данные точки A(-3,-2,0); B(5,0,2); C(3,-3,1); D(-1,1,1) лежат в одной плоскости.
11.Даны координаты вершин пирамиды A1 A 2 A 3 A 4 A1 (5,1,0); A 2 (7,0,1); A 3 (2,1,4);
A 4 (5,5,3). Требуется средствами векторной алгебры найти:
угол между ребрами A1 A 2 и A1 A 4 ;
площадь грани A1 A 2 A 3 ;
проекцию вектора A1 A3 на A1 A4 объем пирамиды.
Вариант 7
1. Векторы a и bданы геометрически. Построить каждый из следующих векторов:
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
1) |
a |
b |
; 2) |
a |
b |
; 3) |
b |
a |
; 4) 5 |
|
− 2 |
|
; |
||||
|
a |
b |
|||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
2. На плоскости даны точки А(-4, 2); В(2, 3); С(0, 5). В начале координат приложены силы OA,OB,OC . Построить равнодействующую OM . Выразить силы OA,OB,OC,OM через единичные векторы i и j координатных осей. Найти величину равнодействующей OM .
3. Разложить геометрически и аналитически вектор C по векторам a и b, если a =5 j ;
b=2 i +3 j ; c =4 i +2 j .
4.Под действием силы F ={3,-5,1} материальная точка переместилась из точки A(0,-3,2) в точку B(5,-5,3). Вычислить работу силы F .
5.Даны векторы a ={2,-1,3}; b={-2,3,6}. Найти:
1) ( a , b); 2) a ; 3) (a + b, a − b) ; 4) прb (a + b); 5) b 0 − opтb .
6. Даны векторы a =2 m +4 n ; b= m - n , где m = n = 1;(m, n)= 23 π . Найти: 1) ( a , b); 2) a ; 3) (a + b, a − b) ; 4) прb (a + b).
7.Найти площадь треугольника с вершинами A(3,3,-2); B(0,-3,4); C(0,-3,0).
8.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
a =2 m -4 n ; b= m - n , где m = n = 1;(m, n)= 23 π .
9.Сила F = i -2 j -3 k приложена к точке A(2,1,2). Найти величину и направление момента этой силы относительно т. B(5,1,3).
10.Установить, компланарны ли векторы a =i -2 j ; b= i + j +4 k ; c =3 i -3 j +4 k ;
11.Даны координаты вершин пирамиды A1 A 2 A 3 A 4 A1 (4,2,-1); A 2 (3,0,4); A 3 (0,0,4);
A 4 (5,-1,-3). Требуется средствами векторной алгебры найти:
44
угол между ребрами A1 A 2 и A1 A 4 ;
площадь грани A1 A 2 A 3 ;
проекцию вектора A1 A3 на A1 A4 объем пирамиды.
Вариант 8
1. Векторы a и bданы геометрически. Построить каждый из следующих векторов:
1) |
a |
+ |
b |
; 2) |
a |
− |
b |
; 3) |
|
b |
− |
a |
; 4) 3 |
|
− |
|
; |
|
a |
b |
|||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
2. На плоскости даны точки А (3,3); В(-1,3); С(5,-2). В начале координат приложены силы OA,OB,OC . Построить равнодействующую OM . Выразить силы OA,OB,OC,OM через единичные векторы i и j координатных осей. Найти величину равнодействующей OM .
3. Разложить геометрически и аналитически вектор C по векторам a и b, если a =-2i -2 j ;
b=-2i +3 j ; c =4 i + j .
4.Под действием силы F ={3, -4, 5} материальная точка переместилась из точки A(2,1,-3) в точку B(3,0,-1). Вычислить работу силы F .
5.Даны векторы a ={2,3,4}; b={-6,-2,3}. Найти:
1) ( |
|
|
|
, |
|
); 2) |
|
|
|
; 3) ( |
|
+ |
|
|
, |
|
|
− |
|
) ; 4) |
прb ( |
|
+ |
|
); 5) |
|
|
|
0 − opт |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
a |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
b |
a |
b |
a |
b |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
b |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= 2;( |
|
, |
|
)= |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
6. Даны векторы |
|
a |
=3 |
p |
+2 |
q |
; |
b |
=3 |
p |
- |
q |
, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
π . Найти: |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
p |
q |
p |
q |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1) ( |
|
, |
|
); 2) |
|
|
|
; 3) ( |
|
+ |
|
|
, |
|
− |
|
) ; 4) |
прb ( |
|
+ |
|
); |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
|
a |
|
a |
b |
a |
b |
a |
b |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.Найти площадь треугольника с вершинами A(6,1,5); B(-1,3,0); C(4,5,-2).
8.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
|
|
|
|
|
; |
|
=3 |
|
- |
|
, где |
|
|
|
= |
|
|
|
= 2;( |
|
, |
|
)= |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
a |
=3 |
p |
-2 |
q |
b |
p |
q |
|
|
|
|
|
|
|
π . |
||||||||||
p |
q |
p |
q |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.Сила F =2 i -3 j приложена к точке A(-1,4,-2). Найти величину и направление момента этой силы относительно т. B(2,3,-1).
10.Доказать, что четыре данные точки A(1,2,1); B(2,-1,-2); C(5,0,-6); D(2,3,0) лежат в одной плоскости.
11.Даны координаты вершин пирамиды A1 A 2 A 3 A 4 A1 (4,-3,-2); A 2 (2,2,3); A 3 (-1,-2,3); A 4 (2,-2,-3). Требуется средствами векторной алгебры найти:
угол между ребрами A1 A 2 и A1 A 4 ;
площадь грани A1 A 2 A 3 ;
проекцию вектора A1 A3 на A1 A4 объем пирамиды.
45
Вариант 9
1. Векторы a и bданы геометрически. Построить каждый из следующих векторов:
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
− |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
1) |
a |
b |
; 2) |
a |
b |
; 3) |
a |
b |
; 4) 2 |
|
− 2 |
|
; |
||||
a |
b |
||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
2. На плоскости даны точки А(-2,4); В(3,3); С(4,-1). В начале координат приложены силы OA,OB,OC . Построить равнодействующую OM . Выразить силы OA,OB,OC,OM через единичные векторы i и j координатных осей. Найти величину равнодействующей OM .
3. Разложить геометрически и аналитически вектор C по векторам a и b, если a =3i +2 j ; b= i -3 j ; c =-3i +2 j .
4.Под действием силы F ={3,-5,2} материальная точка переместилась из точки A(-1,0,3) в точку B(1,-5,-4). Вычислить работу силы F .
5.Даны векторы a ={6,-2,3}; b={-1,-3,2}. Найти:
1) ( |
|
|
|
, |
|
); 2) |
|
|
|
; 3) ( |
|
+ |
|
|
, |
|
|
− |
|
|
) ; 4) |
прb ( |
|
+ |
|
); 5) |
|
0 − opт |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a |
b |
|
a |
|
a |
b |
a |
b |
a |
b |
b |
b |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3;( |
|
, |
|
)= |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. Даны векторы |
|
a |
=3 |
m |
- |
n |
; |
b |
=2 |
m |
+3 |
n |
, где |
|
|
|
= 2; |
|
|
|
|
π . Найти: |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
m |
n |
m |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1) ( |
|
, |
|
); 2) |
|
|
|
; 3) ( |
|
+ |
|
|
, |
|
|
− |
|
|
) ; 4) |
прb ( |
|
+ |
|
). |
|
|||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
|
a |
|
a |
b |
a |
b |
a |
b |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.Найти площадь треугольника с вершинами A(3,-2,1); B(-4,-2,0); C(-1,-2,4).
8.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2; |
|
|
|
|
|
= 3;( |
|
, |
|
)= |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
a |
=3 |
m |
- |
n |
; |
b |
=2 |
m |
+3 |
n |
, где |
|
|
|
|
|
|
|
π . |
|||||||||
m |
n |
m |
n |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.Сила F ={3,-2,6} приложена к точке A(4,-2,5). Найти величину и направление момента этой силы относительно т. B(1,-2,1).
10.Доказать, что четыре данные точки A(1,-2,2); B(1,4,0); C(-4,1,1); D(-5,-5,3) лежат в одной плоскости.
11.Даны координаты вершин пирамиды A1 A 2 A 3 A 4 A1 (3,1,1); A 2 (1,4,1); A 3 (1,1,7);
A 4 (3,4,-1). Требуется средствами векторной алгебры найти:
угол между ребрами A1 A 2 и A1 A 4 ;
площадь грани A1 A 2 A 3 ;
проекцию вектора A1 A3 на A1 A4 объем пирамиды.
Вариант 10
1. Векторы a и bданы геометрически. Построить каждый из следующих векторов:
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
1) |
a |
b |
; 2) |
a |
b |
; 3) |
b |
a |
; 4) 3 |
|
− 2 |
|
; |
||||
|
a |
b |
|||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
46
2. На плоскости даны точки А(-2,-2); В(1,4); С(3,-1). В начале координат приложены силы OA,OB,OC . Построить равнодействующую OM . Выразить силы OA,OB,OC,OM через единичные векторы i и j координатных осей. Найти величину равнодействующей OM .
3. Разложить геометрически и аналитически вектор C по векторам a и b, если a =2i +4 j ;
b=3 i - j ; c =-3i +2 j .
4.Под действием силы F ={3,2,5} материальная точка переместилась из точки A(2,-1, 3) в точку B(3,-1,4). Вычислить работу силы F .
5.Даны векторы a ={2,-2,2}; b={2,-6,3}. Найти:
1) ( |
|
|
|
, |
|
); 2) |
|
|
|
; 3) ( |
|
|
+ |
|
, |
|
|
|
− |
|
|
) ; 4) |
прb ( |
|
+ |
|
); 5) |
|
0 − opт |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
a |
b |
|
a |
|
a |
b |
a |
b |
a |
b |
b |
b |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3; |
|
|
|
|
= 1;( |
|
, |
|
)= |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. Даны векторы |
|
a |
= |
m |
+3 |
n |
; |
b |
= |
m |
-5 |
n |
, где |
|
|
|
|
|
|
|
π . Найти: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
m |
n |
m |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1) ( |
|
, |
|
); 2) |
|
|
|
; 3) ( |
|
|
+ |
|
, |
|
|
− |
|
|
) ; 4) |
прb ( |
|
+ |
|
); |
|
|||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
|
a |
|
a |
b |
a |
b |
a |
b |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.Найти площадь треугольника с вершинами A(2,1,-1); B(3,0,1); C(2,-1,3).
8.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
a = m +3 n ; b= m -5 n , где m = 3; n = 1;(m, n)= 23 π .
9.Сила F = i +2 j - k приложена к точке A(-1,4,-2). Найти величину и направление момента этой силы относительно т. B(2,3,-1).
10.Установить, компланарны ли векторы a =-i + j -4 k ; b=2 k -2 i ; c =-3i + j -2 k ;
11.Даны координаты вершин пирамиды A1 A 2 A 3 A 4 A1 (-2,3,-2); A 2 (2,-3,3); A 3 (2,2,0); A 4 (1,5,5). Требуется средствами векторной алгебры найти:
угол между ребрами A1 A 2 и A1 A 4 ;
площадь грани A1 A 2 A 3 ;
проекцию вектора A1 A3 на A1 A4 объем пирамиды.
Вариант 11
1. Векторы a и bданы геометрически. Построить каждый из следующих векторов:
1) |
a |
+ |
b |
; 2) |
a |
− |
b |
; 3) |
− |
a |
+ |
b |
; 4) 2 |
|
− 3 |
|
; |
a |
b |
||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
2. На плоскости даны точки А(2,-3); В(1,5); С(-1,4). В начале координат приложены силы OA,OB,OC . Построить равнодействующую OM . Выразить силы OA,OB,OC,OM через единичные векторы i и j координатных осей. Найти величину равнодействующей OM .
3. Разложить геометрически и аналитически вектор C по векторам a и b, если a =-3i + j ; b= i -3 j ; c =3 i +2 j .
47
4.Под действием силы F ={-2,0,-5} материальная точка переместилась из точки A(1,-2,3) в точку B(0,3,-2). Вычислить работу силы F .
5.Даны векторы a ={-3,6,2}; b={4,4,-2}. Найти:
1) ( a , b); 2) a ; 3) (a + b, a − b) ; 4) прb (a + b); 5) b 0 − opтb .
6. Даны векторы a =5 m - n ; b=3 m +2 n , где m = n = 2;(m, n)= π3 . Найти: 1) ( a , b); 2) a ; 3) (a + b, a − b) ; 4) прb (a + b);
7.Найти площадь треугольника с вершинами A(3,2,1); B(5,5,4); C(2,-1,1).
8.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
a = m -3 n ; b=2 m + n , где m = n = 2;(m, n)= π3
9.Сила F =3 i -2 j +7 k приложена к точке A(1,-2,3). Найти величину и направление момента этой силы относительно т. B(2,1,2).
10.Установить, компланарны ли векторы a =2i -2 k ; b=i + j +4 k ; c =3 i - j +2 k ;
11.Даны координаты вершин пирамиды A1 A 2 A 3 A 4 A1 (7,1,2); A 2 (-5,3,-2); A 3 (3,3,5); A 4 (4,5,-1). Требуется средствами векторной алгебры найти:
угол между ребрами A1 A 2 и A1 A 4 ;
площадь грани A1 A 2 A 3 ;
проекцию вектора A1 A3 на A1 A4 объем пирамиды.
Вариант 12
1. Векторы a и bданы геометрически. Построить каждый из следующих векторов:
1) |
a |
+ |
b |
; 2) |
a |
− |
b |
; 3) |
− |
a |
+ |
b |
; 4) 2 |
|
− |
|
; |
a |
3b |
||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
2. На плоскости даны точки А(2,-3); В(1,5); С(-1,3). В начале координат приложены силы OA,OB,OC . Построить равнодействующую OM . Выразить силы OA,OB,OC,OM через единичные векторы i и j координатных осей. Найти величину равнодействующей OM .
3. Разложить геометрически и аналитически вектор C по векторам a и b, если a =3i +2 j ; b=-3i + j ; c = i -3 j .
4.Под действием силы F ={2, 0, -3} материальная точка переместилась из точки A(-1,-2,3) в точку B(1,3,2). Вычислить работу силы F .
5.Даны векторы a ={-2,0,3}; b={-1,3,1}. Найти:
1) ( a , b); 2) a ; 3) (a + b, a − b) ; 4) прb (a + b); 5) b 0 − opтb .
6. Даны векторы a =3 m - n ; b=2 m + n , где m = n = 3;(m, n)= π4 . Найти:
48
1) ( a , b); 2) a ; 3) (a + b, a − b) ; 4) прb (a + b);
7.Найти площадь треугольника с вершинами A(3,2,-3); B(5,1,-1); C(1,-2,1).
8.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3; |
|
|
|
|
= 2;( |
|
, |
|
)= |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
a |
= |
p |
+ |
q |
; |
b |
=2 |
p |
- |
q |
, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
||||||
p |
q |
p |
q |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.Сила F =3 i +4 j -2 k приложена к точке A(2,-1,-2). Найти величину и направление момента этой силы относительно т. B(0,0,0).
10.Установить, компланарны ли векторы a ={3,-4,7}; b={2,-1,2}; c ={1,2,-3}.
11.Даны координаты вершин пирамиды A1 A 2 A 3 A 4 A1 (3,4,0); A 2 (1,1,1); A 3 (-1,5,6); A 4 (4,0,5). Требуется средствами векторной алгебры найти:
угол между ребрами A1 A 2 и A1 A 4 ;
площадь грани A1 A 2 A 3 ;
проекцию вектора A1 A3 на A1 A4 объем пирамиды.
Вариант 13
1. Векторы a и bданы геометрически. Построить каждый из следующих векторов:
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
1) |
a |
b |
; 2) |
a |
b |
; 3) |
b |
a |
; 4) 3 |
|
− |
|
; |
||||
|
a |
b |
|||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
2. На плоскости даны точки А(-2,3); В(3,3); С(2,-2). В начале координат приложены силы OA,OB,OC . Построить равнодействующую OM . Выразить силы OA,OB,OC,OM через единичные векторы i и j координатных осей. Найти величину равнодействующей OM .
3. Разложить геометрически и аналитически вектор C по векторам a и b, если a =-2i +2 j ;
b=3 i + j ; c =2 i +4 j .
4.Под действием силы F ={-2,1,4} материальная точка переместилась из точки A(2,-1,3) в точку B(1,3,5). Вычислить работу силы F .
5.Даны векторы a ={2,-4,4}; b={1,-2,0}. Найти:
1) ( |
|
|
|
, |
|
); 2) |
|
|
|
; 3) ( |
|
+ |
|
|
, |
|
|
− |
|
|
) ; 4) |
прb ( |
|
|
+ |
|
|
|
|
); 5) |
|
|
|
|
|
0 − opт |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||
a |
b |
|
a |
|
a |
b |
a |
b |
a |
b |
b |
b |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3; |
|
|
|
= 2;( |
|
, |
|
)= |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
6. Даны векторы |
|
a |
=3 |
p |
- |
q |
; |
b |
= |
p |
+ |
q |
, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
π . Найти: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p |
q |
p |
q |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1) ( |
|
, |
|
); 2) |
|
|
|
; 3) ( |
|
+ |
|
|
, |
|
|
− |
|
|
) ; 4) |
пр |
|
( |
|
|
+ |
|
|
); |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
|
a |
|
a |
b |
a |
b |
|
a |
b |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.Найти площадь треугольника с вершинами A(2,-1,2); B(1,2,-1); C(3,2,1).
8.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2; |
|
|
|
|
|
= 3;( |
|
, |
|
)= |
π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
a |
=2 |
m |
- |
n |
; |
b |
=3 |
m |
+ |
n |
, где |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
m |
n |
m |
n |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49
9.Сила F =2 i -4 j +5 k приложена к точке A(4,-2,3). Найти величину и направление момента этой силы относительно т. B(3,2,-1).
10.Установить, компланарны ли векторы a =i +2 j -3 k ; b=2 i - j +2 k ; c = i +2 j -3 k ;
11.Даны координаты вершин пирамиды A1 A 2 A 3 A 4 A1 (0,0,0); A 2 (5,2,0); A 3 (2,5,0); A 4 (1,2,4). Требуется средствами векторной алгебры найти:
угол между ребрами A1 A 2 и A1 A 4 ;
площадь грани A1 A 2 A 3 ;
проекцию вектора A1 A3 на A1 A4 объем пирамиды.
Вариант 14
1. Векторы a и bданы геометрически. Построить каждый из следующих векторов:
1) |
a |
+ |
b |
; 2) |
a |
− |
b |
; 3) |
|
b |
− |
a |
; 4) |
|
− 3 |
|
; |
|
a |
b |
|||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
2. На плоскости даны точки А(-1,-2); В(1,2); С(5,-2). В начале координат приложены силы OA,OB,OC . Построить равнодействующую OM . Выразить силы OA,OB,OC,OM через единичные векторы i и j координатных осей. Найти величину равнодействующей OM .
3. Разложить геометрически и аналитически вектор C по векторам a и b, если a =7i -4 j ; b=2 i + j ; c =3 i -2 j .
4.Под действием силы F ={1,-3,1} материальная точка переместилась из точки A(2,5,0) в точку B(1,2,-1). Вычислить работу силы F .
5.Даны векторы a ={3,2,4}; b={5,-1,5}. Найти:
1) ( |
|
|
|
, |
|
); 2) |
|
|
|
; 3) ( |
|
+ |
|
|
, |
|
|
− |
|
|
) ; 4) |
прb ( |
|
+ |
|
); 5) |
|
|
|
|
|
0 − opт |
|
|
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
a |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
b |
a |
b |
a |
b |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
b |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= 2;( |
|
, |
|
)= |
π |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
6. Даны векторы |
|
a |
=3 |
p |
+ |
q |
; |
b |
=2 |
p |
- |
q |
, где |
|
|
|
|
|
|
|
. Найти: |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
p |
q |
p |
q |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1) ( |
|
, |
|
); 2) |
|
|
|
; 3) ( |
|
+ |
|
|
, |
|
− |
|
|
) ; 4) |
прb ( |
|
+ |
|
); |
|
|||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
|
a |
|
a |
b |
a |
b |
a |
b |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.Найти площадь треугольника с вершинами A(3,0,-3); B(1,2,0); C(5,2,6).
8.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2; |
|
|
|
|
= 3;( |
|
, |
|
)= |
π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
a |
=2 |
p |
+3 |
q |
; |
b |
= |
p |
- |
q |
, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
p |
q |
p |
q |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.Сила F =3 i -2 k приложена к точке B(2,-3,1). Найти величину и направление момента этой силы относительно т. A(-1,2,3).
10.Доказать, что четыре данные точки A(0,1,5); B(1,2,-1); C(-1,2,1); D(2,1,3) лежат в одной плоскости.
11.Даны координаты вершин пирамиды A1 A 2 A 3 A 4 A1 (1,-1,6); A 2 (4,5,-2); A 3 (-1,3,0); A 4 (6,1,5).Требуется средствами векторной алгебры найти:
50